Montre CA $e^{-|x|^\alpha}$ est $\lambda^d$ intégrable pour chaque $\alpha>0$

Question

L'exercice demande de montrer que la fonction $x\mapsto e^{-|x|^\alpha}$ de $\mathbb{R}^d$ à $\mathbb{R}$ est est $\lambda^d$ intégrable pour chaque $\alpha>0$, où $\lambda^d$ désigne la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^d$. A titre indicatif, nous renvoyons à un exercice précédent où nous avons montré que la même fonction sur$\mathbb{R}$ est $\lambda^1$ intégrable.

Cette question utilise des coordonnées polaires, mais dans mon livre, nous n'avons pas encore utilisé cette technique. Je pense plutôt que nous devons utiliser le théorème de Tonelli, mais comment puis-je montrer l'intégrabilité de chacun des$d$ intégrales sur $\mathbb{R}$?

Answer 1

Cela peut être fait avec le théorème de Fubini-Tonelli. Laisser$f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ être une fonction telle que

$$0 \leq f(x_1, \ldots, x_d) \leq \prod_{i=1}^d g_i (x_i)$$

pour tous $(x_i)_{1 \leq i \leq d}$ et quelques fonctions non négatives $g_i$. Alors le théorème de Fubini-Tonelli nous a laissé diviser l'intégrale de$f$:

$$0 \leq \int_{\mathbb{R}^d} f \ d \lambda^d \leq \prod_{i=1}^d \int_{\mathbb{R}} g_i \ d \lambda^1.$$

Maintenant, il suffit de trouver une fonction intégrable $g$ tel que $e^{-|x|^\alpha} \leq \prod_{i=1}^d g(x_i)$ partout.

La chose la plus simple à essayer est de prendre $g(x_i) = e^{-c |x_i|^\alpha}$ pour une certaine constante $c > 0$ (qui peut dépendre de $d$). Par monotonie, l'inégalité tient si et seulement si

$$|x|^\alpha \geq c \sum_{i=1}^d |x_i|^\alpha$$

pour tous $x \in \mathbb{R}^d$. Cela peut être fait (par exemple avec$c = 1/d$), mais à ce stade, je vous laisse essayer.