Montrer que la dérivée directionnelle n'existe pas

Question

Laisser être $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x+y, & x=0 \lor y=0 \\ 1, & x \neq 0 \land y \neq 0\end{array} .\right.$

Montre CA $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=1 .$

Mais que le dérivé directionnel $\frac{\partial f}{\partial u}(0,0)$ n'existe pas depuis $u=(a, b)$ avec $a \neq 0$ y $b \neq 0$

J'ai fait

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_ {h \to 0} \frac{f(h+0,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{h+0-0-0}{h} = 1 $ et pareil pour $\frac{\partial f}{\partial y}$

Le pour le directionnel que j'ai fait:

$Duf(0,0)=\lim_{h \to 0} \frac{f(ha,hb)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0}=\frac{1-(0+0)}{h}$ et cette limite est divergente

Est-ce correct?

Answer 1

Oui, vous avez raison, la limite diverge ou, plus précisément, les limites droite et gauche divergent avec un signe différent

$$\lim_{h \to 0^+}=\frac{1}{h}=\infty$$

$$\lim_{h \to 0^-}=\frac{1}{h}=-\infty$$