Notation confuse de dérivée partielle

Question

Supposer que $z=f(x,y)$est donné. où$f(x,y)=x^3+y^3$. Je suis un peu confus au sujet de la notation de$z_x$ et $f_x$.

Beaucoup de gens utilisent la notation ci-dessous pour $z_x$. $$z_x=3x^2$$

Mais si $y$ est liée à $x$dans une équation. Par exemple$$y=x.$$ ensuite $${\partial z\over\partial x}$$ devrait également considérer la variable $y$ puisque $y$ peut être représenté par $x$. Mais dans une situation similaire, j'ai vu dans un livre$${\partial f\over\partial x }=3x^2$$ qui ne considère pas y comme une variable.

En résumé, étant donné que $z=f(x,y)$, $f(x,y)=x^3+y^3$, $y=x$ quel est $z_x$ et $f_x$?

Answer 1

C'est ici qu'il est utile d'introduire la notation $\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y$ présumer $y$ ne varie pas comme $z$ varie en raison uniquement de $x$variant. (Je n'ai pas vu cela abrégé en$(z_x)_y$, mais c'est vraisemblablement OK <surtout si vous expliquez sa signification.) Donc$$z=x^3+y^3\implies \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y=3x^2,\,\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_x=3y^2$$est vrai même si$y$est une fonction de x . Ces dérivées partielles peuvent ne pas sembler utiles dans ce cas, mais permettez-moi de montrer qu'elles le sont. La règle de la chaîne multivariée est$$dz=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_ydx+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_xdy,$$qui dans le cas particulier $y=f(x)$ donne$$dy=f^\prime(x)dx\implies dz=\left[\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_xf^\prime(x)\right]dx.$$Cela conduit naturellement au calcul de @ Andrei.

Answer 2

Supposons que $y=y(x)$. Puis le dérivé de$f(x,y)$ par rapport à la variable $x$ est $$\frac{d f(x,y(x))}{dx}=3x^2+3y^2(x)\frac{dy(x)}{dx}$$ La dérivée partielle n'est qu'une notation, basée sur la règle de la chaîne. C'est la dérivée quand on considère toutes les autres variables indépendantes de$x$. Vous pouvez voir maintenant que vous pouvez écrire$$\frac{d f(x,y(x))}{dx}=3x^2\frac{dx}{dx}+3y^2(x)\frac{dy(x)}{dx}=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\frac{dy}{dx}$$

Answer 3

je dirais que $f_x = 3x^2$ et $f_y = 3y^2$.

Si c'est écrit $z=x^3+y^3$ et la notation $z_x$ est utilisé alors j'accepterais $z_x=3x^2$ même si on dit aussi que $y=x.$

Pour la dérivée totale la notation $z' = \frac{dz}{dx}$ serait plus approprié: $$z' = z_x x' + z_y y' = 3x^2 \cdot 1 + \left.3y^2\right|_{y=x} \cdot 1 = 6x^2.$$