Notation de groupe fondamentale

Question

Je travaille actuellement sur un problème dans le texte de la topologie algébrique de Spanier . Plus précisément, je travaille sur le problème B4 au chapitre 2, qui demande à chacun de prouver que$\pi(S^1 \vee S^1)$ est non-abélien.

Maintenant, plus tôt dans le texte, l'auteur déclare que $\pi(X,x_0)$ est le groupe fondamental de $X$ basée à $x_0$. Ainsi, ma question est la suivante: est-ce que la notation$\pi(S^1 \vee S^1)$ désignons ici simplement le groupe fondamental de $S^1 \vee S^1$sans choix de point de base? En général, la notation$\pi(X)$ souvent utilisé pour désigner simplement le groupe fondamental de $X$? Cela aurait du sens pour moi, puisque le groupe fondamental de$X$ est indépendant du choix du point de base.

Enfin, si $\pi(X)$ est vraiment quelque chose de différent du groupe fondamental de $X$, peut-on accomplir en montrant que $\pi(X)$ est non-abélien en montrant que le groupe fondamental de $X$ est non-abélien?

Merci !

Answer 1

Oui, il est courant d'omettre le point de base en se référant au groupe fondamental. C'est un abus de notation, mais c'est souvent inoffensif puisque, comme vous le mentionnez, le groupe fondamental d'un espace connecté au chemin est indépendant du choix du point de base jusqu'à l'isomorphisme. (Cependant, il faut être prudent avec cela, car l'isomorphisme est non canonique lorsque le groupe fondamental est non-labien!)

Je mentionnerais, cependant, que la notation $\pi(X,x_0)$ (ou alors $\pi(X)$) n'est pas couramment utilisé pour le groupe fondamental. Au lieu de cela, il est généralement appelé$\pi_1(X,x_0)$ (ou alors $\pi_1(X)$ lorsque le point de base est supprimé).

Answer 2

Vous n'avez pas besoin d'un point de base, car $S^1\vee S^1$est un chemin connecté. Tous les groupes fondamentaux aux différents points de base possibles seraient isomorphes.

Et $\pi_1(X)$ est généralement le groupe fondamental de $X$, ($\pi_n(X)$ étant le $n$-ème groupe d'homotopie de $X$, où vous considérez les classes d'homotopie des cartes de $S^n$ dans $X$.)