Notation de la définition martingale

Question

Je lis le calcul stochastique de Shreve et je suis un peu confus par la notation quand il introduit pour la première fois une martingale avec la définition: $E_n(X_{n+1})=X_n $ Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi $X_n$est en majuscule. Je pensais que lorsque nous nous référions à une valeur spécifique, une variable aléatoire prendrait nous écririons$x$ par opposition à $X$. Le$X_n$ ici se réfèrent à une valeur connue au moment $n$?

Answer 1

Vous devez clarifier par vous-même ce que signifie la notation ici. L'opérateur$\mathbb{E}_{n}$ est une abréviation pour une espérance conditionnelle, étant donné certaines algèbres sigma disent $\mathcal{F}_{n}$ d'une filtration $\lbrace \mathcal{F}_{n}\rbrace_{n\ge 1}$, c'est à dire \ begin {équation} \ mathbb {E} _ {n} [X]: = \ mathbb {E} [X | \ mathcal {F} _ {n}]. \ end {equation} Et ce type n'est pas déterministe mais aléatoire! À savoir, il est défini comme étant la variable aléatoire qui s'intègre à tous$\mathcal{F}_{n}$- variables aléatoires mesurables de la même manière que $X$Est-ce que. Maintenant$\mathbb{E}_{n}[X_{n+1}]$ étant aléatoire, vous devriez être moins surpris de $X_{n}$(qui est aléatoire) étant mis en majuscule sur le côté droit de votre équation. C'est une identité entre deux variables aléatoires (ce qui par conséquent n'est demandé qu'à vrai)$\mathbb{P}$- presque sûrement).