Noyau intégral de $e^{itH_{0}}$

Question

En mécanique quantique, l'état évolué dans le temps d'un système à une particule est donné par $\psi(x,t) = e^{-itH_{0}}\psi_{0}(x)$, où $H_{0} = \frac{1}{2}\Delta$ est le hamiltonien libre, $t\in \mathbb{R}$ et $\Delta$est l'opérateur de Laplace habituel. J'ai vu quelque part que les deux$e^{itH_{0}}$ et $e^{tH_{0}}$ont des noyaux intégraux, c'est-à-dire \ begin {eqnarray} (e ^ {- itH_ {0}} \ varphi) (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K_ {0} (x, y, t ) \ varphi_ {0} (y) dy \ tag {1} \ label {1} ​​\ end {eqnarray} et \ begin {eqnarray} (e ^ {- tH_ {0}} \ varphi) (x) = \ int_ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ tilde {K} _ {0} (x, y, t) \ varphi_ {0} (y) dy \ tag {2} \ label {2} \ end {eqnarray } où$K_{0}(x,y,t) = (2\pi i t)^{-d/2}e^{i\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$ et $\tilde{K}(x,y,t) = (2\pi t)^{-d/2}e^{\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$.

Question: Comment puis-je prouver (\ ref {1}) et (\ ref {2})?

Answer 1

Fondamentalement, nous avons un PDE $\partial_t \varphi(t,\vec{x}) = \alpha \, \Delta\varphi(t,\vec{x}).$

Prenant la transformée de Fourier dans le $\vec{x}$ l'argument aboutit à l'ODE $\partial_t \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = -\alpha \, |\vec{k}|^2 \, \hat{\varphi}(t,\vec{k})$ avec solution $$ \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t} \hat{\varphi}(0,\vec{k}). $$

Le côté droit est le produit de deux fonctions de $\vec{k}$ et est donc la transformée de Fourier d'une convolution: $$ \varphi(t,\vec{x}) = \left(u(t,\cdot)*\varphi(0,\cdot)\right)(\vec{x}), $$ où $\hat{u}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t}.$

Si $\operatorname{Re}\alpha \geq 0$ puis $\hat{u}$ peut être transformé résultant en $$ u(t,\vec{x}) = (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}|^{2}}{2\alpha t}}. $$

Donc, $$ \varphi(t,\vec{x}) = \int_{\mathbb{R}^d} (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}-\vec{y}|^{2}}{2\alpha t}} \, \varphi(0,\vec{y}) \, d^dy. $$