Opérateur laplacien 3D

Question

J'ai été incapable de trouver l'équivalent des différences finies du pochoir à 5 points pour l'opérateur laplacien.

En 2 dimensions pour moi, il est clair que, en utilisant la méthode des différences finies: $$ \nabla_{2D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0} + u_{-1,0} + u_{0,1} + u_{0,-1} -4 u_{0,0} \right) $$ (h étant la grille de taille / pas)

Mais je ne suis pas sûr qu'il soit complètement symétrique pour le cas tridimensionnel. Puis-je simplement ajouter les termes faisant référence à la 3ème dimension?$$ \nabla_{3D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0,0} + u_{-1,0,0} + u_{0,1,0} + u_{0,-1,0} + u_{0,0,1} + u_{0,0,-1} -6 u_{0,0,0} \right) $$

Une source où je pourrais trouver les différents termes de précision pour le Laplacien 3D serait également utile.

Answer 1

Oui, cette différence finie est correcte. Vous pouvez l'obtenir en utilisant une différence finie dans chaque direction pour l'opérateur de Laplace dans chaque coordonnée.

\begin{align} \nabla^2 u =& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\\ \approx& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) - 2u(x, y, z) + u(x -h, y, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y + h, z) - 2u(x, y, z) + u(x, y - h, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y, z + h) - 2u(x, y, z) + u(x, y, z - h)]\\ =& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) + u(x -h, y, z) + u(x, y + h, z) + u(x, y - h, z)\\ &+ u(x, y, z + h) + u(x, y, z - h) - 6u(x, y, z)]\, . \end{align}

Alternativement, vous pouvez interpoler un polynôme qui passe par les points de votre gabarit, puis calculer son laplacien et l'évaluer à $(x, y, z)$.