Orbites de $SO(3)$

Question

Avertissement: cette question a fait l'objet de plusieurs modifications; celui-ci traite le cas$k=\mathbb{R}$, tandis que j'en posterai un autre pour le cas complexe.

Considérez l'action de $SO(3)$ sur $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$, avec des coordonnées homogènes $x_0,x_1,x_2$, de la forme $$SO(3)\times\mathbb{P}^2\to \mathbb{P}^2$$ $$(A,p)\mapsto Ap.$$ J'aimerais comprendre ce que sont les orbites de cette action, et comprendre si l'action est transitive, c'est-à-dire $SO(3)\simeq \mathbb{P}^2$ c'est-à-dire, puisque $SO(3)/SO(3)_p\simeq SO(3)p$, J'aimerais étudier $$SO(3)/SO(3)_p.$$ Pour ce faire, j'ai considéré par simplicité le poitn $p=(1:0:0)$, et j'ai trouvé que $$SO(3)_p=\{A\in SO(3)\mid \text{the first columns of $UNE$ is equal to $p$}\}.$$ Pour conclure, je dois montrer que, étant donné un point $y\in \mathbb{P}^2$, il existe une matrice $B\in SO(3)$ tel que $Bp=y$, c'est-à-dire la première colonne de $B$ est égal à $y$. Malheureusement maintenant je suis bloqué, car je ne sais pas comment créer une matrice à partir d'une simple colonne$y$.

Answer 1

Vous avez besoin d'une matrice $B$ tel que $Bp$ est proportionnel à $y$ (penser à $y$ comme vecteur dans $\Bbb R^3$). La première étape consiste donc à remplacer$y$ avec $y/\|y\|$, de sorte que ce soit un vecteur unitaire. Ensuite, vous avez besoin d'une matrice de rotation dont la première colonne est$y$. Les deux autres colonnes doivent être orthogonales à$y$, et ils doivent être orientés positivement. Voici donc une construction:

Laissez la plus petite entrée de $y$, en valeur absolue, soit le $i$th. Laisser$w = e_i$. Calculer$$ v = w - w \cdot y $$ qui est orthogonal à $y$ (pourquoi ne peut-il pas être zéro? C'est un exercice pour vous), puis laissez $$ u = v / \| v \| $$ qui est un vecteur unitaire orthogonal à $y$. Puis laissez$B$ être une matrice avec des colonnes $y, u, $ et $y \times u$.

Mais notez que cela fonctionne pour chaque point $y$, pas seulement ceux sur ta courbe $C$, donc je ne comprends pas vraiment comment cela résout votre problème. J'ai probablement mal compris quelque chose.