Perdre des solutions à une équation rationnelle
Pour résoudre une équation rationnelle, disons $\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{7}{(x-1)(x-2)}$, la stratégie habituelle consiste à multiplier les deux côtés de l'équation par le plus petit dénominateur commun (LCD). Dans ce cas, l'écran LCD est$(x-1)(x-2)$ et multiplier les deux côtés de l'équation donne $3(x-1)=(x-2)+7$. La question est maintenant réduite à la résolution d'une équation linéaire et les solutions de cette équation linéaire seront les solutions de l'équation rationnelle (en supposant qu'elles ne créent un zéro dans aucun des dénominateurs).
Cependant, cette méthode de multiplication des deux côtés par l'écran LCD me semble drôle. Comment sommes-nous sûrs à 100% que, ce faisant, nous ne «perdons» aucune solution potentielle à l'équation rationnelle? Existe-t-il un moyen rigoureux de prouver que cette méthode nous donne$\textbf{all}$des solutions à une équation rationnelle? Je m'excuse si cette question est triviale.
Intuitivement, il semble que lorsque nous multiplions les deux côtés par l'écran LCD, nous nous débarrassons simplement des «solutions rejetées» qui entraîneront un zéro dans l'un des dénominateurs.
Réponses
La perte ou l'obtention de solutions à une équation se produit lorsque vous effectuez une opération qui n'est pas uniquement inversible ou qui est l'inverse d'une telle opération. Par exemple, avec la mise au carré, nous voyons:$$y=x\to y^2=x^2\to y=\pm x$$
La fonction $x^2$ n'est pas injective et n'a pas d'inverse unique, de sorte que cette étape produit des solutions supplémentaires.
Cependant, la multiplication par un polynôme donné est fine en tout point où le polynôme est non nul, car l'inverse de cette opération se divise simplement par ledit polynôme.
Donc, dans votre question, multiplier par $(x-1)(x-2)$ c'est bien, mais vous devez réduire $x=1$ et $x=2$s'ils se présentent comme des solutions. Dans ce cas, ils ne le sont pas, vous n'avez donc trouvé aucune solution.
Au pire, multiplier une équation par une expression commune peut introduire des solutions étrangères (lorsque vous multipliez par zéro), mais n'en perdez aucune: si $a=b$, $ac=bc$ reste vrai.
Votre équation n'a de sens que lorsque $x\ne1$ et $x\ne2$, donc si vous multipliez par $(x-1)(x-2)$, vous n'en introduirez pas si vous gardez cette condition.
Déclarer $x\ne 1$ et $x\ne 2$pour éviter la division par zéro. Comme vous faites une manipulation algébrique ordinaire, vous obtenez$3(x-1)-(x-2)-7 =0 \implies x=4$ce qui ne contredit pas les déclarations faites, cette solution est correcte. On peut également le mettre dans l'équation d'origine pour confirmer que vous obtenez$3/3=3/2$. Alors tout va bien, ici dans votre question, vous n'avez rien manqué.