Pourquoi cette séquence existe-t-elle?
Nous avons le théorème suivant du livre d'analyse réelle de Stein et Shakarchi 3 qui dit si $H$ est un espace Hilbert, $f \in H$, et $S$ est un sous-espace fermé de $H$, alors il y a un élément $g_0 \in S$ tel que $\|f-g_0\| = \inf_{g \in S}\|f-g\|$.
La preuve commence par laisser $d = \inf_{g \in S}\|f-g\|$ et considérant une séquence $\{g_n\} \subset S$ avec la propriété qui
$$\|f-g_n\| \rightarrow d \text{ as }n \to \infty $$
J'ai du mal à voir pourquoi une telle séquence $\{g_n\}$devrait exister . Mon intuition me dit que je dois utiliser la caractérisation epsilon d'infimum. Autrement dit, si$A$ est un ensemble de nombres réels et $d := \inf A$, puis
$$\forall \epsilon > 0, \exists x \in A \text{ such that }x < d + \epsilon$$
Réponses
Pour chaque $n\in\mathbb{N}$ il doit y avoir un élément $g_n\in S$ tel que $d\leq ||f-g_n||<d+\frac{1}{n}$, cela découle en effet de la caractérisation epsilon d'infimum. Par le théorème de compression$||f-g_n||\to d$.
Donné $\epsilon > 0$, nous pouvons trouver $g\in S$ avec $||f-g|| < d + \epsilon$. Car je suppose que non; alors pour tous$g \in S$, $||f-g|| \geq d + \epsilon$, ce qui signifie que $d + \epsilon$ est une borne inférieure pour $\{||f-g|| \big| g \in S\}$. Mais$d + \epsilon > d$, une contradiction puisque $d$est la plus grande borne inférieure.
Maintenant pour tout $n$, ensemble $\epsilon = 1/n$ et utilisez le fait ci-dessus pour trouver $g_n$ avec $||f-g_n|| < d + 1/n$. Puisque$d \leq ||f - g_n||$ par définition, nous avons $||f-g_n||\rightarrow d$.