Preuve de la convergence d'une sous-séquence arbitraire

Question

Mes notes de calcul contiennent le théorème suivant et sa preuve:

Si la séquence $(x_n)$ converge vers $a$ et si $(x_{n_k})$ est une sous-séquence de $(x_n)$, puis $x_{n_k}\to a$ quand $k\to \infty$

Preuve:

Laisser $\varepsilon>0$. Choisir$N\in\mathbb{N}$ tel que $n\geq N$ implique $|x_n-a|<\varepsilon$.

Puisque $n_k\in\mathbb{N}$ et $n_1<n_2<...,$ il est clair que $n_k\geq k$ pour tous $k\in\mathbb{N}$.

Ensuite, $k\geq N$ implique $n_k\geq N$. Donc,$|x_{n_k}-a|<\varepsilon$. En d'autres termes,$x_{n_k}\to a$ quand $k\to\infty$.

Je ne comprends pas pourquoi nous pouvons affirmer que $n_k\geq k$ pour tous $k\in\mathbb{N}$. Toute aide est appréciée.

Answer 1

C'est vrai parce que la séquence $(n_k)$augmente strictement. Par conséquent pour chaque$k$

$\{n_1,\ldots,n_k\} \subset \{1,\ldots,n_k \}$.

L'ensemble sur le LHS a $k$ éléments, l'ensemble sur le RHS $n_k$éléments. L'inclusion d'ensemble implique$k \le n_k$.