Preuve de la décomposition polaire

Question

Supposer $M$ est une algèbre de von Neumann et $\phi\in M_{*}$, alors il existe une isométrie partielle unique $v\in M$ et une fonctionnelle linéaire positive $\psi\in M_{*}$ tel que $\phi=v \psi$ et $v^*v=s(\phi)$, où $s(\phi)$ est une projection de support de $\phi$.

Pour la preuve, j'ai rencontré des ennuis. J'ai trouvé un livre de référence, il dit que "si$\phi\in M_{*}$, il existe $a\in M$ avec $\|a\|\leq 1$ tel que $\phi(a)=\|\phi\|$". Comment prouver la déclaration ci-dessus.

J'ai une autre question sur les projections de soutien d'un État. Si$\phi_1$ et $\phi_2$ sont deux états d'une algèbre de von Neumann tels que $s(\phi_1)s(\phi_2)=0$, existe-t-il des relations entre deux états

Answer 1

C'est une conséquence directe du résultat standard suivant:

Résultat: si$X$ est un espace normé et $x\in X$, puis $$\|x\|=\max\{|\varphi(x)|:\ \varphi\in X^*,\ \|\varphi\|=1\}.$$

Appliquer ceci à $X=M_*$ et $X^*=M$.

Pour votre deuxième question, je ne sais pas vraiment à quel genre de relation vous vous attendez.