Prix ​​sans arbitrage

Question

Nous avons un contrat dont la valeur est $A(S_t,t) = S_t^3$ à tout moment, pas seulement à l'expiration. $S_t$, l'action sous-jacente, suit un mouvement brownien géométrique, $\frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dB$. Comment pourrions-nous montrer que cela est incompatible avec une tarification sans arbitrage?

Je pensais qu'une solution potentielle pourrait être de montrer que ce n'est pas une Martingale sous la mesure Q. Fondamentalement, nous commençons par supposer que$A(S_t, t)$ est une Martingale, ce qui implique que$e^{-rt}E^Q[A_t] = A_0 = S_0^3$. Mais, dans le cadre de la mesure neutre au risque, nous savons que$S_t = S_0e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})t + \sigma \sqrt{t} Z^Q}$ où $Z$est normal standard. Il s'ensuit que$A(S_t, t) = S_t^3 = S_0^3e^{3(r-\frac{\sigma^2}{2})t + 3\sigma \sqrt{t} Z^Q}$. Calculer l'attente$e^{-rt}E^Q[S_t^3] = S_0^3 e^{-rt}\int_{z^*}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{2 \pi}} e^{\frac{-z^2}{2}}e^{3(r-\frac{\sigma^2}{2})t + 3\sigma \sqrt{t} Z^Q}$ on obtient $S_0^3 e^{2rt + 3\sigma^2t}$. Car$S_0^3 e^{2rt + 3\sigma^2t} \neq S_0^3$ nous concluons que $A(S_t, t)$ n'est pas une Martingale, donc le fait que le contrat a de la valeur $S_t^3$ à tout moment est incompatible avec une tarification sans abitrage.

Quelque chose comme ce travail? Toute aide serait très appréciée. Merci.

Answer 1

Dans le cadre de la mesure neutre au risque par l'application d'Ito: $$ dS^3_t = 3 \left[ (r + \sigma^2)S^3_t dt + \sigma S^3_t dW_t \right] $$ La dérive neutre au risque n'est pas le taux sans risque et donc $S_t^3 \; \forall t$ ne peut pas être le prix d'une créance ou de tout autre actif négociable.

Donc, fondamentalement, dans le même sens que votre preuve, mais sans calculer les attentes, etc. Il suffit de regarder la dérive locale.