Probabilité conditionnelle supérieure à 1?

Question

+-----+---------+------+----------+--------+
| Day | Outlook | Temp | Humidity | Beach? |
+-----+---------+------+----------+--------+
|   1 | Sunny   | High | High     | Yes    |
+-----+---------+------+----------+--------+
|   2 | Sunny   | High | Normal   | Yes    |
+-----+---------+------+----------+--------+
|   3 | Sunny   | Low  | Normal   | No     |
+-----+---------+------+----------+--------+
|   4 | Sunny   | Mild | High     | Yes    |
+-----+---------+------+----------+--------+
|   5 | Rain    | Mild | Normal   | No     |
+-----+---------+------+----------+--------+
|   6 | Rain    | High | High     | No     |
+-----+---------+------+----------+--------+
|   7 | Rain    | Low  | Normal   | No     |
+-----+---------+------+----------+--------+
|   8 | Cloudy  | High | High     | No     |
+-----+---------+------+----------+--------+
|   9 | Cloudy  | High | Normal   | Yes    |
+-----+---------+------+----------+--------+
|  10 | Cloudy  | Mild | Normal   | No     |
+-----+---------+------+----------+--------+

Compte tenu de ces données, quelle est la probabilité d'aller à la plage lorsque Outlook = Ensoleillé, Temp = Élevé?

Je ne parle pas de machine learning pour le moment.

J'applique le théorème de Bayes $ P(A\mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)} $.

$$ P(\textrm{Beach}\mid \textrm{Outlook}]=\textrm{Sunny}, \textrm{Temp}=\textrm{High}) \\[1em]= \frac{P(\textrm{Outlook}=\textrm{Sunny}, \textrm{Temp}=\textrm{High }\mid \textrm{Beach })\times P(\textrm{Beach})} {P(\textrm{Outlook}=\textrm{Sunny}, \textrm{Temp}=\textrm{High})} $$

Je suppose que tous les attributs sont indépendants, alors j'ai

$$ = \frac{P(\textrm{Outlook}=\textrm{Sunny}\mid \textrm{Beach })\times P(\textrm{Temp}=\textrm{High}\mid \textrm{Beach })\times P(\textrm{Beach})}{P(\textrm{Outlook}=\textrm{Sunny})\times P(\textrm{Temp}=\textrm{High})} $$

Branchez toutes les valeurs, je reçois $$ \begin{align*} =& \frac{\frac{3}{4}\times \frac{3}{4} \times \frac{4}{10}}{\frac{4}{10}\times \frac{5}{10}} = \frac{9}{8} \end{align*} $$

Comment une probabilité peut-elle être supérieure à 1?

Où ai-je mal fait?

Mise à jour

Après avoir utilisé la loi de probabilité totale de gunes, j'obtiens $P=\frac{27}{31}\neq 1$.

$$ \begin{align*} & \frac{P(\textrm{Outlook}=\textrm{Sunny}, \textrm{Temp}=\textrm{High }\mid \textrm{Beach })\times P(\textrm{Beach})}{P(\textrm{Outlook}=\textrm{Sunny}, \textrm{Temp}=\textrm{High})} \\[1em] =& \frac{P(O=S|B)\times P(T=H\mid B)\times P(B) \tag a}{P(O=S, T=H|B)\times P(B)+P(O=S, T=H|B')\times P(B') \tag b} \\[1em] =& \frac{P(O=S\mid B )P(T=H \mid B) P(B)}{P(O=S|B)P(T=H|B)P(B) +P(O=S|B')\times P(T=H|B')\times P(B') \tag a} \\[1em] = & \frac{\frac{3}{4}\times \frac{3}{4} \times \frac{4}{10}}{\frac{3}{4}\times \frac{3}{4}\times \frac{4}{10}+\frac{1}{6}\times \frac{2}{6}\times \frac{6}{10} } = \frac{27}{31} \end{align*} $$

a: assume conditional independence
b: use total probability law

Mise à jour 2 pour Bounty

Veuillez afficher le calcul étape par étape pour

1. probabilité d'aller à la plage lorsque Outlook = Ensoleillé, Temp = Élevé
2. probabilité de ne pas aller à la plage lorsque Outlook = Ensoleillé, Temp = Élevé (ne pas utiliser 1-p)
3. probabilité d'aller à la plage lorsque Temp = Faible, Humidité = Élevée
4. probabilité de ne pas aller à la plage lorsque Temp = Faible, Humidité = Élevée (ne pas utiliser 1-p)

Answer 1

C'est à cause de votre hypothèse d'indépendance, ce qui n'est pas vrai d'après les données. Par exemple,

$$P(\text{Outlook=Sunny, Temp=High}|\text{Beach})=1/2$$

car il y a 4 situations où vous allez à la plage et dans seulement deux d'entre elles, les perspectives sont ensoleillées et la température est élevée. C'est la même situation pour le dénominateur.