Probabilité d'atteindre l'état i

Question

Je viens de commencer à apprendre la chaîne de Markov et je ne sais pas comment résoudre cette question

Une fourmi marche le long des arêtes d'un cube, en partant du sommet marqué 0. En atteignant un sommet, la fourmi continue aux arêtes incidentes à ce sommet, avec une probabilité égale pour chacun.

Il y a 2 araignées à deux sommets marqués α et β qui attendent la fourmi. Quelle est la probabilité que la fourmi atteigne le sommet α de l'araignée? Qu'en est-il du sommet β?

Answer 1

Ce problème peut être simplifié au point d'admettre une solution facile. Utilisez-le comme guide lorsque vous travaillez dans les calculs de la chaîne de Markov pour vérifier votre travail.

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Laisser $p_s$ être la chance de finir à $\alpha$ en commençant au sommet $s.$ Nous devons trouver $p_0.$ Puisque inévitablement la chenille finira collée (prouvez-le!), $1-p_s$ est sa chance de finir à $\beta.$

À partir des symétries du cube, remarquez que

$$p_0 = 1-p_3;\quad p_1=p_5=1-p_2=1-p_4.$$

Depuis $p_\alpha=1$ et $p_\beta=0,$cela nous laisse besoin de trouver seulement deux quantités; dire,$p_0$ et $p_1.$

Seuls trois mouvements sont possibles à partir de $0,$ chacun avec une probabilité égale aux états $1,3,$ et $5.$ Par conséquent (énoncez-le rigoureusement en termes de probabilité conditionnelle!)

$$p_0 = \left(p_1+p_3+p_5\right)/3 = \left(p_1+1-p_0+p_1\right)/3 = (1-p_0+2p_1)/3,$$

nous permettant d'exprimer $p_1$ en terme de $p_0,$

$$p_1 = (4p_0-1)/2.$$

De l'état $1$ il y a trois mouvements équiprobables vers les états $0, 2,$ et $\alpha,$ d'où

$$p_1 = (p_0+p_2+p_\alpha)/3 = (p_0 + 1-p_1 + 1)/3.$$

En conjonction avec l'équation antécédente, cela donne la solution unique

$$p_0 = 4/7.$$

La solution complète peut maintenant être directement calculée à partir de ce qui précède comme

$$(p_0,p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_\alpha,p_\beta) = (8, 9, 5, 6, 5, 9, 14, 0)/14.$$