Probabilité qu'une variable observée soit supérieure à zéro

Question

J'observe une variable $\hat{x}$. Je sais que mon observation est bruyante à cause d'un bruit de mesure gaussien$\mathcal{N}(0, \sigma)$.

Mon objectif est de calculer la probabilité $p(x > 0\mid\hat{x})$ que le vrai sous-jacent $x \in \mathbb{R}$est positif. La probabilité a priori de tout$x$est inconnue, c'est-à-dire que la distribution a priori est supposée plate. Supposons aussi que je sais$\sigma$précisément. Quel est$p(x > 0\mid\hat{x})$?

Answer 1

On peut trouver la distribution postérieure de $x$:

$$p(x|\hat x)\propto p(\hat x|x)p(x)\propto\exp\left[-\dfrac{(x-\hat x)}{2\sigma^2}\right]\Rightarrow x\sim\mathcal N(\hat x, \sigma^2)$$

Depuis $x|\hat x$ est normal, on peut facilement calculer $p(x>0|\hat x)$ en utilisant le CDF normal standard, $\Phi$:

$$p(x>0|\hat x)=1-\Phi\left(\dfrac{0-\hat x}{\sigma}\right)=\Phi\left(\dfrac{\hat x}{\sigma}\right)$$

Notez que, dans ce cas, cela se trouve être la même chose que un moins la valeur p pour le test Z fréquentiste pour $x>0$.