Problème d'anniversaire: résolution avec permutations vs combinaisons

Question

J'ai un problème avec un exercice:

Si k personnes sont à une fête, quelle est la probabilité qu'au moins deux d'entre elles aient le même anniversaire? Supposons qu'il y ait n = 365 jours dans une année et que tous les jours soient également susceptibles d'être l'anniversaire d'une personne spécifique. Quelle est la probabilité pour k = 23?

Et selon la feuille de solution, la bonne réponse est:

$Pr=1-\frac{P_{365,k}}{365^k}$ et $Pr_{k=23} \approx 0.5073$

Je pense comprendre la façon de penser derrière cette solution mais ma façon de penser était assez différente:
supposons que$\#B$est le nombre de paires ayant le même anniversaire. La probabilité de ne PAS avoir le même anniversaire pour une seule paire est$p_b=1-\frac{1}{365}=\frac{364}{365}$ donc pour toutes les paires que nous avons:
$P(\#B \ge 1)=1-P(\#B =0)=1-(\frac{364}{365})^{C_{k,2}}$ où $C_{k,2}$est le nombre de paires possibles. Cela semble assez différent de la solution de la feuille de solution et du résultat exact pour$k=23$ semble aussi être un peu différent parce que (selon Wolfram alpha) j'obtiens:
$Pr_{k=23} \approx 0.5004771$
Qu'est-ce que je fais mal? Ou peut-être que les deux solutions sont équivalentes et la différence des résultats pour$k=23$est causée par des approximations numériques?
Merci d'avance pour votre aide.

Answer 1

Tu as raison qu'il y a $\binom k2$ (ou si vous préférez $C_{k,2}$) paires possibles, et chaque paire a un $\frac{364}{365}$ probabilité de ne PAS avoir le même anniversaire.

Mais ces événements ne sont pas indépendants, on ne peut donc pas simplement multiplier leurs probabilités!

Pour un exemple de la façon dont ils ne sont pas indépendants: supposons qu'on vous donne que A et B ont le même anniversaire, et aussi que B et C ont le même anniversaire. Alors la probabilité que A et C aient le même anniversaire est beaucoup plus élevée que$\frac{1}{365}$...

Maintenant, beaucoup de ces événements sont assez proches d'indépendants (par exemple, deux d'entre eux sont indépendants) et ainsi multiplier leurs probabilités vous rapproche assez de la bonne réponse. Mais c'est toujours faux.