Produit de moyennes

Question

Laisser $(x_1,...,x_n)$ et $(y_1,...,y_n)$ être deux tuples différents de réels positifs tels que $x_1\times\dots\times x_n=y_1\times\dots\times y_n = c$. Est-il vrai que$$\left(\frac{x_1+y_1}{2}\right)\times\cdots\times \left(\frac{x_n+y_n}{2}\right) > c?$$

Je pense que cela devrait découler d'un argument de concavité, peut-être sur la fonction $f(x_1,...,x_n) = x_1\times\cdots\times x_n$, mais je ne sais pas exactement comment.

Answer 1

L' inégalité entre les moyennes arithmétique et géométrique indique que$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{x y}$ pour $x, y \ge 0$, avec égalité si et seulement si $x=y$.

Il s'ensuit que $$ \prod_{k=1}^n \frac{x_k+y_k}{2} \ge \prod_{k=1}^n \sqrt{x_k y_k} = \sqrt{\prod_{k=1}^n x_k \cdot \prod_{k=1}^n y_k} = c $$ avec égalité si et seulement si $(x_1, \ldots, x_n) = (y_1, \ldots, y_n)$.

Si vous souhaitez utiliser un argument de concavité, considérez $$ g(x_1, \ldots, x_n) = \log x_1 + \ldots + \log x_n \, . $$ $g$ est concave en tant que somme de fonctions concaves.

Answer 2

Par titulaire $$\prod_{k=1}^n\frac{x_k+y_k}{2}\geq\frac{\left(\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^nx_k}+\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^ny_k}\right)^n}{2^n}=c$$