prouve-le $g_\theta(t)$ augmente $[1,\infty)$.

Question

Voici un problème aggravant. Fixer une constante$\theta\in(0,1)$. J'ai une fonction$$g_\theta(t)=t^\theta\left[(t+1)^{1-\theta}-\left(t+\frac{1}{2}\right)^{1-\theta}\right]$$ qui, lorsqu'il est tracé en wolfram pour diverses valeurs de $\theta$, augmente clairement $[1,\infty)$. Mais, je dois le prouver rigoureusement.

La chose évidente à faire est d'essayer de montrer que $g'_\theta(t)>0$ sur $[1,\infty)$. Malheureusement, nous avons ce désordre pour le dérivé:

$$g'_\theta(t) =(\theta t^{\theta-1}+t^\theta)(t+1)^{-\theta} -(\theta t^{\theta-1}/2+t^\theta)\left(t+\frac{1}{2}\right)^{-\theta}$$

Il y a peut-être une fonction spéciale que je peux utiliser pour rendre cela plus facile. Ou un truc de convexité que je ne vois pas. Idk. Qu'en pensez-vous?

Merci!

Answer 1

Application du théorème de la valeur moyenne à la fonction $\phi(t,x)=(t+x)^{1-\theta}$ on peut montrer que: $\phi(t,1)-\phi(t,\frac{1}{2})=\frac{1}{2}(1-\theta)(t+\alpha)^{-\theta}$ pour un alpha avec $ \frac{1}{2}<\alpha<1$. Il s'ensuit que:$g_{\theta}(t)=\frac{1}{2}(1-\theta)(\frac{t}{t+\alpha})^{\theta}$ qui est une fonction croissante.