Prouver: $(\Delta x)(\Delta \lambda) \geq \frac{\lambda^2}{4\pi}$

Question

Actuellement, je passais par la formule

$$(\Delta x)(\Delta p)\geq\frac{h}{4\pi}$$

qui est bien sûr la forme incluse du principe d'incertitude de Heisenberg . Mais j'obtiens aussi cette formule

$$(\Delta x)(\Delta \lambda)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}.$$

Je suppose que c'est une extension du principe de Heisenberg mais je n'ai pas eu une telle note dans le livre. De plus, je pense que cela vient peut-être de l'hypothèse de de Broglie et qu'il s'agit peut-être d'un calcul, mais ce n'est qu'une supposition. Donc, pour ces raisons, je souhaite une réponse de votre part et de plus il sera plus fin d'avoir une interprétation physique de cette formule comme nous l'avons fait pour le principe de Heisenberg .

Answer 1

Partant du principe d'incertitude général pour deux opérateurs arbitraires$\Omega$ et $\Phi$ $$(\Delta\Omega)^2(\Delta\Phi)^2\geq\frac{1}{4}\left|\langle \psi | [\Omega,\Phi] | \psi\rangle\right|^2$$ où $|\psi\rangle$ est un état arbitraire et $[\Omega,\Phi]=\Omega\Phi-\Phi\Omega$, le commutateur. Nous savons de De Broglie que$\lambda=\frac{h}{p}$; à partir de là, nous calculons la parenthèse Possion de$x$ et $\lambda$ comme $$\begin{align}\{\lambda,x\}&=\frac{\partial \lambda}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial p}-\frac{\partial x}{\partial x}\frac{\partial\lambda}{\partial p}\\ &=\frac{h}{p^2}\\ &=\frac{\lambda^2}{h}\end{align}$$ Maintenant, la règle populaire de Dirac pour la quantification (fonctionne dans de nombreux cas) est de dire que $$\{\omega,\phi\}=\frac{2\pi}{i h}[\Omega,\Phi]$$ donc nous avons $$[\Lambda, X]=i\frac{\Lambda^2}{2\pi}$$. Brancher cela dans le principe d'incertitude général d'origine,$$(\Delta\Lambda)^2(\Delta X)^2\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle^2}{16\pi^2}$$ Et ainsi $$(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}$$ Maintenant, à partir de la définition de l'écart type, nous savons que $(\Delta X )^2+\langle X\rangle^2=\langle X^2\rangle$, donc nous avons $$\begin{align} (\Delta\Lambda)(\Delta X)&\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}\\ &\geq\frac{1}{4\pi}((\Delta\Lambda)^2+\langle\Lambda\rangle^2) \\ &\geq\frac{\langle\Lambda\rangle^2}{4\pi} \end{align} $$parce que l'écart type est défini positif. Ainsi, dénotant la valeur d'espérance de$\Lambda$ comme $\lambda$, nous avons enfin $$\bbox[5px,border:2px solid black]{(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}}$$Ce principe d'incertitude est différent de celui de l'élan de position normal; au lieu que le produit des incertitudes soit toujours supérieur à une constante, le produit de l'écart type de la position et de la longueur d'onde est supérieur ou égal à la valeur moyenne de la longueur d'onde divisée par$4\pi$. Ainsi, il relie les incertitudes de position et de longueur d'onde à la valeur moyenne de la longueur d'onde.