Prouver $e^z$ est holomorphe

Question

J'ai lu quelque part que $e^z$est une fonction holomorphe, mais je ne peux pas penser à un moyen facile de le prouver. J'ai pensé à utiliser les équations de Cauchy Riemann, mais c'est probablement exagéré. Existe-t-il une approche simple pour montrer que cette fonction est holomorphe?

Answer 1

Cela dépend de votre définition de $e^z$. La définition la plus standard est de la définir via la série de puissance $$ e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}, $$ ce qui est facilement perçu comme convergent partout. Ensuite, vous pouvez simplement utiliser le théorème général selon lequel une série de puissances définit une fonction holomorphe partout à l'intérieur de son rayon de convergence.

Answer 2

$e^{z}$ est défini comme :

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}.$$

Le rayon de convergence de cette série est $\infty$. C'est donc une fonction analytique.

Answer 3

D'autres réponses supposent que vous définissez l'exponentielle en termes de séries de puissance. Si vous définissez$e^z = e^x\cos(y) + ie^x\sin(y)$, vous voyez ce qui suit:

1. Parce que les deux fonctions de coordonnées sont infiniment différentiables, $e^z$ est infiniment différentiable en fonction de deux variables
2. $\frac{\partial}{\partial x} e^z = e^z$
3. $\frac{\partial}{\partial y} e^z = ie^z$

Maintenant, c'est aussi simple que d'appliquer les équations de Cauchy-Riemann.

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Pour savoir si c'est "exagéré" - tout d'abord, si cela fonctionne, cela fonctionne . S'inquiéter de la surpuissance alors que vous n'avez même pas encore fini de résoudre le problème, c'est bienhttps://stackify.com/premature-optimization-evil/.

Deuxièmement, au fur et à mesure que le cours avance, vous devriez accumuler une liste de conditions équivalentes à l'holomorphie («complexe-différentiable en tout point d'un ensemble ouvert», «satisfait les équations de Cauchy-Riemann en chaque point du domaine», «égale son série de puissance à chaque point d'un jeu ouvert ", ...).

Au lieu d'essayer de choisir le "meilleur" dès le départ, il serait probablement plus instructif de parcourir la liste et de voir comment chaque condition s'applique à$e^z$. Cela (a) vous permet de vous entraîner avec l'ensemble de votre ensemble d'outils, et (b) vous permet de mieux faire correspondre l'outil au problème à l'avenir.