Prouver une commande partielle

Question

Dans quelques jours, je passe un examen de logique formelle et de théorie des ensembles et j'aimerais confirmer si ma méthode de preuve d'ordres partiels est correcte. La tâche:

Pour$(n, m), (p, q) \in \mathbb{N}_{+}^{2}$,$$(n, m) \preceq (p, q) \Leftrightarrow (n, m) = (p, q) \vee (n < p \wedge n - m \leq p - q).$$Prouve-le$\preceq$est une commande partielle.

Voici mon idée pour la preuve :

1) Réflexif

(un B)$ \preceq $(un B)

$(a, b) = (a, b) \vee (a < a \wedge (a - b) \leq (a - b))$

La première partie est vraie, donc c'est réflexif.

2) Antisymétrique

$ (a, b) \preceq (c, d) \wedge (c, d) \preceq (a, b) \Rightarrow (a, b) = (c, d) $

Mon idée était d'écrire la condition ci-dessus en utilisant les règles réelles données dans la tâche :

$ [(a, b) = (c, d) \vee ((a < c) \wedge (a - b) \leq (c - d))] \wedge [(c, d) = (a, b) \vee ((c < a) \wedge (c - d) \leq (a - b))] $

Si nous marquons chaque partie entre parenthèses divisée par$ \vee $avec les lettres p, q, r, s, on voit que la distribution de p et r nous donnera :

$ [(a, b) = (c, d) \wedge (c, d) = (a, b))] $

Et c'est ce que nous recherchions. L'antisymétrie est donc vraie.

3) Transitif

$ (a, b) \preceq (c, d) \wedge (c, d) \preceq (e, f) \Rightarrow (a, b) \preceq (e, f) $

J'ai utilisé la même procédure que ce que j'ai fait ci-dessus. Principalement j'ai écrit les conditions:

$ [(a, b) = (c, d) \vee ((a < c) \wedge (a - b) \leq (c - d))] \wedge [(c, d) = (e, f) \vee ((c < e) \wedge (c - d) \leq (e - f))] $

J'ai encore une fois utilisé la notation p, q, r, s et distribué. Encore une fois, la distribution de p et r nous donne :

$ [(a, b) = (c, d) \wedge (c, d) = (e, f)] $

Ce qui devrait prouver la dernière partie, car c'est la condition d'ordre partiel dans la tâche. Est-ce la bonne façon de prouver les ordres partiels ? Je serai très reconnaissant pour les conseils et les réponses, car ils m'aideront à réussir le cours.

Answer 1

J'utiliserais une approche différente dans vos preuves d'anti-symétrie et de transitivité.
De cette façon, vous n'avez pas besoin de distribution.

Anti-symétrie. La deuxième branche des définitions ne s'applique pas, puisque cela inclurait$a<c$et$c<a$, une contradiction.
Ainsi, vous obtenez immédiatement$(a,b) = (c,d)$(par définition), c'est ce qui devait être prouvé.

Transitivité. C'est une situation similaire.
Si$(a,b) = (c,d)$, ensuite$(a,b) \leq (e,f)$car$(c,d) \leq (e,f)$; la même chose se produit si$(c,d) = (e,f)$.
Donc la seule situation non triviale est si$$a<c<e$$et$$a-b < c-d < e-f,$$d'où il résulte que$a < e$et$a-b< e-f$(il s'avère être assez trivial aussi).