Quadrilatère avec des angles donnés

Question

On cherche les angles x et y.

J'ai trouvé les valeurs des angles suivants : BEA = 74, BDA = 64, ACD = 68, ECD = 112,

plus la relation$x+y = 68$.

Toutes les autres équations d'angles, issues de triangles ou de la somme des angles dans le quadrilatère (360) se retrouvent dans la même équation !

J'ai trouvé grâce à Geogebra que$x=18$et$y=50$mais je n'arrive pas à trouver une seconde relation pour les déterminer géométriquement !

Quelqu'un a-t-il une idée?

Merci!

Answer 1

Si vous recherchez la preuve par géométrie élémentaire, veuillez consulter l'excellent travail de Hiroshi Saito (斉藤浩) sur le problème de Langley généralisé (https://www.gensu.co.jp/saito/challenge/pdf/3circumcenter_d20180609.pdf). Il a présenté l'étonnante compétence nommée "3 circumcenter method" inventée par Mme aerile_re (nom de plume), et vous pouvez trouver la solution de ce problème dans l'article (Q1).

Answer 2

ma solution géométrique :http://www.davdata.nl/math/geopuzzle28.html

calcul d'arc

calcul d'arc(2)

Answer 3

Une preuve par la loi des sinus est la suivante :

Considérer les triangles$AED, BED, ABD, ABE$:

\begin{align} \frac {\sin y}{AD} &= \frac {\sin 48^\circ}{ED}\\ \frac {\sin x}{EB} &= \frac {\sin 38^\circ}{ED}\\ \frac {\sin 46^\circ}{AD} &= \frac {\sin 64^\circ}{BA}\\ \frac {\sin 22^\circ}{EB} &= \frac {\sin 74^\circ}{BA}\\ \end{align}

Équation$ED$dans les deux premières équations on a :

$$\frac {EB \sin 38^\circ}{\sin x} = \frac {AD \sin 48^\circ}{\sin y}$$

$EB$et$AD$peut s'exprimer en termes de$BA$:

$$\frac {AB \sin 22^\circ \sin 38^\circ}{\sin 74^\circ \sin x} = \frac {AB \sin 46^\circ \sin48^\circ}{\sin 64^\circ \sin y}$$

En notant que$x = 68^\circ - y$,

$$\frac {\sin 22^\circ \sin 38^\circ}{\sin 74^\circ (\sin 68^\circ \cos y - \cos 68^\circ \sin y)} = \frac {\sin 22^\circ \sin 38^\circ}{\sin 74^\circ \sin (68^\circ - y)} = \frac {\sin 46^\circ \sin48^\circ}{\sin 64^\circ \sin y}$$

Réorganisation :

$$(\sin 22^\circ \sin 38^\circ \sin 64^\circ + \sin 46^\circ \sin 48^\circ \sin 74^\circ \cos 68^\circ) \sin y = \sin 46^\circ \sin 48^\circ \sin 74^\circ \sin 68^\circ \cos y$$

Donner l'expression de$\tan y$:

$$\frac {\sin 46^\circ \sin 48^\circ \sin 74^\circ \sin 68^\circ} {\sin 22^\circ \sin 38^\circ \sin 64^\circ + \sin 46^\circ \sin 48^\circ \sin 74^\circ \cos 68^\circ}$$

WolframAlpha dit que c'est$50^\circ$. On pourrait probablement réduire l'expression ci-dessus, mais pour l'instant je ne vois pas comment.