Quel est le nom de cette quantité?

Question

Étant donné deux vecteurs $X$ et $Y$ (longueur $n$, échantillonné à partir de variables aléatoires), quel est le nom de la quantité suivante:

$$ \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-y_j)^2 $$

J'ai «proposé» la formule pour quantifier la variance entre deux vecteurs et je suppose que la formule est soit absurde, soit sinon - étant donné sa trivialité - une quantité bien connue. Je sais que ce n'est pas la covariance entre$X$ et $Y$, mais qu'est-ce que c'est à la place?

Edit: évidemment, dans le cadre de prédictions avec par exemple des données $X$ et prédiction $Y$, cela correspondrait à l'erreur quadratique moyenne (sauf pour la constante de normalisation qui serait $\frac{1}{n}$). Je me demande cependant s'il a un nom (et une signification) dans le contexte des statistiques. voir le commentaire de Stephan Kolassa

Answer 1

Il s'agit d'une mesure de la dispersion au carré entre deux ensembles de valeurs mais pas entre des valeurs appariées. Je doute qu'il ait un nom.

En effet, vous n'avez pas besoin d'avoir le même nombre de $x$ et $y$ valeurs et en utilisant les $\frac1n$ calcul de la variance, vous pouvez dire:

$$\frac{1}{mn}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n(x_i-y_j)^2\qquad \\\qquad\qquad= (\bar x - \bar y)^2 + \widehat{\text{Var}}(x) +\widehat{\text{Var}}(y)$$

donc une combinaison de la distance au carré entre les centres des deux ensembles plus les dispersions carrées des ensembles individuels.