Question basée sur le modèle probabiliste de diffusion
J'ai été perplexe sur cette question lors de mon cours d'introduction aux probabilités, sans aucune idée de la façon de procéder:
"Il y a deux cases - A contenant n boules bleues et B contenant n boules noires. A chaque étape, une bille est choisie au hasard dans les deux cases et échangée, c'est-à-dire que celle de A est placée dans B et vice versa. Soit $X_m$être le nombre de boules noires dans l'urne A après m étapes. Observez que cela détermine l'état du système après m étapes, c'est-à-dire en sachant$X_m$décrit la composition des deux urnes. Obtenir la fonction de masse de probabilité de$X_m$. "
Je suis resté coincé sur cette question, écrivant des équations inutiles sans aucun moyen de savoir ce que je devrais faire. Quelqu'un pourrait-il s'il vous plaît me donner un aperçu de la façon dont je peux commencer?
De plus, nous venons de nous familiariser avec la variable aléatoire (simplement en la mettant là-bas parce que j'ai trouvé quelque chose en ligne concernant les matrices de Markov et tout, et je n'ai rien compris).
Merci d'avance!
Réponses
Étant donné une procédure traitant de deux boîtes avec des boules bleues et rouges , il est difficile de deviner un certain nombre de boîtes noires dans une urne. Ci-dessous, j'ai supposé que la question contenait des erreurs d'impression et j'ai essayé de les corriger, mais la réponse obtenue semble trop compliquée.
Nous supposons qu'initialement la boîte $A$ contient $n$ boules bleues et pas d'autres boules et boîte $B$ contient $n$boules noires et pas d'autres boules. Nous supposons également qu'à chaque étape$m\ge 1$ toutes les balles de $A$ et toutes les balles de $B$ont la même probabilité d'être choisi. Supposer que$X_{m-1}=i$. En fonction des couleurs des boules choisies, il existe les quatre cas possibles suivants$X_m$.
1)) La balle de $A$ est noir et la balle de $B$est noir. La probabilité de ce cas est$\tfrac in\cdot \tfrac {n-i}n=\tfrac{i(n-i)}{n^2}.$ Dans ce cas $X_{m}=X_{m-1}=i$.
2)) La balle de $A$ est noir et la balle de $B$est bleu. La probabilité de ce cas est$\tfrac in\cdot \tfrac in=\tfrac{i^2}{n^2}.$ Dans ce cas $X_{m}=X_{m-1}-1=i-1$.
3)) La balle de $A$ est bleu et la balle de $B$est noir. La probabilité de ce cas est$\tfrac {n-i}n\cdot \tfrac {n-i}n=\tfrac{(n-i)^2}{n^2}.$ Dans ce cas $X_{m}=X_{m-1}+1=i+1$.
4)) La balle de $A$ est bleu et la balle de $B$est bleu. La probabilité de ce cas est$\tfrac {n-i}n\cdot \tfrac in=\tfrac{i(n-i)}{n^2}.$ Dans ce cas $X_{m}=X_{m-1}=i$.
Pour chaque $m\ge 0$ laisser $x_m=(x_{m0}, x_{m1},\dots, x_{mn})^T$, où pour chaque entier $i$ de $0$ à $n$, $x_{mi}$ est une probabilité que $X_m$ équivaut à $i$. L'observation ci-dessus suit que$x_m=Ax_{m-1}$ pour chaque $m\ge 1$, où $A=\|a_{ij}\|$ est une matrice telle que
$a_{ii}=\frac {2i(n-i)}{n^2}$ pour chaque $0\le i\le n$,
$a_{i-1, i}=\frac{(n-i)^2}{n^2}$, pour chaque $1\le i\le n$,
$a_{i+1, i}=\frac{i^2}{n^2}$, pour chaque $0\le i\le n-1$,
et tous les autres $a_{ij}$ sont des zéros.
ensuite $x_0=(1,0,\dots,0)$ et $x_m=A^mx_0$ pour chaque $m$. Pour les grands$m$ le calcul de la puissance $A^m$peut être simplifié en trouvant une forme normale de Jordan $J=P^{-1}AP$, calcul $J^m$par les formules des cellules Jordan de$J$ et obtenir $A^m=PJ^mP^{-1}$.