Question complémentaire `` diophantienne '': extrapolation au cas général

Question

Je suis tombé sur un problème impliquant une certaine équation diophantienne il y a quelques jours. J'ai appris pas mal de choses extrêmement utiles à leur sujet sur ce fil ici, que j'ai commencé: Un modèle qui peut être suivi lors de la résolution d'équations diophantiennes - des idées? -

N'hésitez pas à le lire pour le contexte de ce qui suit:

Tout en travaillant avec le concept des équations diophantiennes, j'ai semblé remarquer un modèle surprenant.

Toute équation de la forme:

$$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{3}{p}$$

(Où x et y sont des entiers positifs et p est un nombre premier supérieur ou égal à 5)

semble toujours avoir exactement 3 solutions.

Est-il possible de prouver cette hypothèse / conjecture initiale? Ou ai-je mal pensé et pouvez-vous me réfuter? Au plaisir de voir ce que les réponses rapporteront!

Answer 1

$$ 3xy - 2px - py = 0$$

$$ 9xy - 6px - 3py = 0$$

$$ 9xy - 6px - 3py + 2p^2 = 2p^2$$

$$ (3x-p)(3y-2p) = 2p^2$$

\ begin {array} {| c | c | c | c | c | c |} \ hline & \ color {red} {(3x-p)} \ color {blue} {(3y-2p)} & x & y \\ \ hline A & \ color {rouge} {1} \ cdot \ color {bleu} {2p ^ 2} & (p + 1) / 3 & 2p (p + 1) / 3 & \ color {vert} { ?} \\ \ hline B & \ color {rouge} {2p ^ 2} \ cdot \ color {bleu} {1} & p (2p + 1) / 3 & (2p + 1) / 3 & \ color {vert} {?} \\ \ hline C & \ color {rouge} {2} \ cdot \ color {bleu} {p ^ 2} & (p + 2) / 3 & p (p + 2) / 3 & \ color {vert } {?} \\ \ hline D & \ color {rouge} {p ^ 2} \ cdot \ color {bleu} {2} & p (p + 1) / 3 & 2 (p + 1) / 3 & \ color {green} {?} \\ \ hline E & \ color {red} {p} \ cdot \ color {blue} {2p} & 2p / 3 & 4p / 3 & \ color {red} {✗} \\ \ hline F & \ color {rouge} {2p} \ cdot \ color {bleu} {p} & p & p & \ color {vert} {\ checkmark} \\ \ hline \ end {array}

D'après le tableau, nous rencontrons deux cas:

• Quand $p+1 \equiv 0 \pmod 3$, $A$, $D$ et $F$ chacun produit une solution.

Par exemple pour $p=11$, $$ {\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{88}=\dfrac{3}{11},\dfrac{1}{44}+\dfrac{2}{8}=\dfrac{3}{11},\dfrac{1}{11}+\dfrac{2}{11}=\dfrac{3}{11}}$$

• Quand $p+2 \equiv 0 \pmod 3$, $B$, $C$ et $F$ chacun produit une solution.

Par exemple pour $p=7$, $$ {\dfrac{1}{35} +\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{7},{\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{21}=\dfrac{3}{7}},\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{7}=\dfrac{3}{7}}$$

Notez que $2p+1 \equiv 0 \equiv 2p+1+3 \equiv p+2 \pmod 3$.

Ainsi la conjecture que$1/x + 2/y = 3/p$ a exactement trois solutions en nombres entiers positifs $x$, $y$ pour prime $p \ge 5$ est correct!

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Merci à @Servaes d'avoir signalé l'erreur critique! :)