Question de définition de la quantification universelle

Question

J'ai une question sur la définition du quantificateur universel. Church Intro to Metamathmatics définit la quantification universelle comme "$\forall x$ __ est True si la valeur de __ est True pour toutes les valeurs de x "et que"$\forall x$__ est False si la valeur de __ est False pour toute valeur de x. Je suppose que «toutes les valeurs de x» signifient le domaine du discours, qui est l'univers du système actuel. Frege Begriffsschrift déclare que$\forall x P(x)$ «quoi que nous puissions prendre pour son argument, la fonction est un fait» et cela est similaire à la définition de Church.

wiki définit la quantification comme «un quantificateur spécifie la quantité de spécimens dans le domaine du discours qui satisfont une formule ouverte». Cette définition est différente des définitions ci-dessus car elle suggère que les éléments du DOD sont choisis pour satisfaire une formule ouverte. Je soupçonnerais que cela signifie$\forall x$ doit toujours être vrai car seuls les éléments du DOD qui satisfont à la formule sont sélectionnés pour être substitués $x$. Cette définition du wiki est-elle correcte?

Étant donné les définitions de la quantification de Church et Frege , cette formule serait-elle fausse parce que$n$ du DOD ne peuvent pas être membres de $\mathbb{N}$?

$\forall n\in \mathbb{N} P(n)$

qui peut s'écrire: $\forall n (n \in \mathbb{N} \land P(n))$

ou est le $\forall n \in \mathbb{N}$spécifiant le DOD? Que spécifie le DOD?

Answer 1

La bonne façon de passer des quantificateurs restreints aux quantificateurs non restreints est \begin{align}\forall x\in A, P(x)&\equiv \forall x, (x\in A\to P(x))\equiv \forall x,(P(x)\lor \neg x\in A)\\ \exists x\in A, P(x)&\equiv \exists x,(x\in A\land P(x))\end{align}

Cela couvre le langage naturel, l'usage ordinaire en mathématiques et fondamentalement tout (peut-être même une vérité matérielle).

Answer 2

En mathématiques ordinaires, le domaine du discours s'exprime dans une déclaration comme celle-ci: "pour tous $x \in A$ la propriété $P(x)$ détient ". Vous pouvez traduire ceci par" pour tous $x$, si $x \in A$ puis la propriété $P(x)$ détient ", qui peut alors s'écrire $$\forall x, \, x \in A \implies P(x) $$Notez que ce n'est pas équivalent à ce que vous avez suggéré dans votre message, à savoir$x \in A \land P(x)$. Le connecteur logique correct est l'implication$\implies$, pas la conjonction $\land$.

Gardez à l'esprit qu'il n'est pas nécessaire d'exprimer un domaine de discours, néanmoins cela se fait très couramment en mathématiques ordinaires.