Question liée à la limite de la somme

Question

Pour$a\in R$&$a \ne 1$ $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{1^a} + {2^a} + ... + {n^a}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^{a - 1}}\left[ {\left( {na + 1} \right) + \left( {na + 2} \right) + .. + \left( {na + n} \right)} \right]}} = \frac{1}{{60}}$$, puis trouver la valeur de$a$.

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Ma démarche est la suivante :

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{1^a} + {2^a} + ... + {n^a}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^{a - 1}}\left[ {\left( {{n^2}a + \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right)} \right]}} = \frac{1}{{60}}$$

Comment puis-je le convertir en limite de somme afin que je puisse procéder à l'intégration?

Answer 1

Diviser le numérateur et le dénominateur de l'expression donnée par$n^a$, on a$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\sum_{r=1}^n(\frac rn)^a}{\frac{(n + 1)^{a - 1}}{n^a}\sum_{r=1}^n\left( na + r\right)} = \frac{1}{{60}}$$
$$\implies \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{(n+1)\sum_{r=1}^n(\frac rn)^a}{(\frac{n + 1}{n})^{a}\cdot n\sum_{r=1}^n\left( a + \frac rn\right)} = \frac{1}{{60}}$$
Maintenant, divisez le numérateur et le dénominateur par$n$et vous seriez capable de convertir la limite en intégration.$a$sortirait pour être$7, -\frac{17}2$. Doute?