Question sur l'équation de Pell.

Question

Question. Supposer que$x,y,x',y'$ sont des entiers positifs satisfaisant $x^2-dy^2=\pm 1$ et $(x')^2-d(y')^2=\pm 1$respectivement. En supposant$x<x'$, prouve-le $y<y'$.

Je ne sais pas trop par où commencer. Premièrement, en prenant la solution positive, j'ai factorisé à$(x+\sqrt{d}y)(x-\sqrt{d}y)=1$ afin que nous puissions avoir $y=0$ et $x=1$. Mais je ne sais pas vraiment comment cela aide.

Tout indice ou chemin de continuation serait grandement apprécié.

Answer 1

Vous avez

$$x^2-dy^2=\pm 1 \tag{1}\label{eq1A}$$

$$(x')^2-d(y')^2=\pm 1 \tag{2}\label{eq2A}$$

Si $d \lt 0$, il n'y a pas de solutions uniquement en entiers positifs et, si $d = 0$, alors les deux côtés droits doivent être $1$ avec $x = x' = 1$, ce qui n'est pas non plus autorisé. Donc,$d \gt 0$.

Ensuite, pas nécessairement en supposant le côté droit $\pm 1$ les valeurs sont les mêmes dans le $2$ équations, \ eqref {eq2A} moins \ eqref {eq1A} donne

$$((x')^2 - x^2) - d((y')^2 - y^2) = z \tag{3}\label{eq3A}$$

où $z \in \{-2, 0, 2\}$, alors $z \le 2$. Depuis$x \ge 1$, et $x' \gt x \implies x' \ge x + 1$, vous obtenez $(x')^2 - x^2 \ge (x + 1)^2 - x^2 = 2x + 1 \ge 3$. Donc,$- d((y')^2 - y^2) \le -1 \implies d((y')^2 - y^2) \ge 1$ et depuis $d \gt 0$, Vous avez aussi $(y')^2 - y^2 \gt 0 \implies y' \gt y$.

Answer 2

Hm ... n'est-ce pas anodin à prouver?

Premièrement, il est facile de voir que $d$ est positif.

Deuxièmement, vous pouvez exprimer directement $y$ et $y'$en fonction
(c'est la même fonction) de$x$ et $x'$ respectivement.

$$y = \sqrt{\frac{x^2-1}{d}}$$
$$y' = \sqrt{\frac{x'^2-1}{d}}$$

Et puis depuis cette fonction

$$f(t) = \sqrt{\frac{t^2-1}{d}}$$

augmente et $x \lt x'$, votre déclaration $y \lt y'$ est évidemment vrai.