Question sur la bague principale
Je suis étudiant en mathématiques. Je ne fais que confondre un concept de base, alors je le demande ici ...
Tout d'abord, idéal principal signifie idéal généré par un seul élément, mais je ne sais pas ce que signifie «généré». Comment définit-on «généré»?
J'ai vu quelques exemples sur le livre de Dummit, et ils disent: «L'idéal trivial 0 et l'idéal R sont tous deux principaux: 0 = (0) et R = (1)». Ma deuxième question est, si l'anneau R est principal, alors ses idéaux sont toujours principaux?
Merci pour la lecture, et j'espère aussi que vous répondrez à mes quelques questions!
Réponses
En général, si $R$ est une bague et $S\subseteq R$ est un sous-ensemble alors l'idéal généré par $S$ est défini comme l'intersection de tous les idéaux qui contiennent $S$en tant que sous-ensemble. En d'autres termes, c'est le plus petit idéal (par inclusion) qui contient$S$. La notation est$(S)$.
En particulier, si $S=\{a\}$ est un ensemble avec un élément alors $(a)$ est le plus petit idéal de $R$ qui contient l'élément $a$. Maintenant si$R$ est une bague avec unité alors il est facile de voir que l'ensemble:
$I=\{\sum_{i=1}^n r_ias_i: n\in\mathbb{N}\cup\{0\},\ r_i,\ s_i\in R\}$
Est un idéal qui contient $a$. Par conséquent$(a)\subseteq I$. D'autre part,$(a)$ lui-même est un idéal qui contient $a$, donc par les propriétés d'un idéal il doit contenir tous les éléments de $I$. Alors$I\subseteq (a)$est également vrai. Donc cela implique$I=(a)$, nous avons trouvé une manière relativement simple de décrire $(a)$.
Si nous savions aussi que $R$ est commutative alors ce serait encore plus facile, alors on aurait simplement $(a)=\{ra: r\in R\}$. (vérifie ça)
Très bien, maintenant aux définitions. Un idéal$I$ s'appelle principal s'il y en a $a\in I$ tel que $I=(a)$. Un anneau$R$ est appelé un anneau principal si tous ses idéaux sont principaux.