Question sur le processus de Poisson du centre d'appels

Question

Les appels arrivent à un centre d'appels selon un processus de Poisson avec taux $\lambda = 3$ par minute.

Supposons qu'il y ait eu exactement 60 appels entre 12 h 00 et 12 h 30. Compte tenu de ces informations, calculez la probabilité d'au moins 60 appels entre 12h30 et 13h00.

J'essaie de comprendre le processus de Poisson. Puisque les événements dans des intervalles de temps disjoints sont indépendants, ce serait$P(X \ge 60 \mid Y = 60) = P(X \ge 60)*P(Y=60)/P(Y=60)$? Est-ce que je prends la bonne approche ou y a-t-il quelque chose qui me manque?

Answer 1

Comme @ DavidG.Stork Comments, vous pouvez ignorer ce qui s'est passé avant 12h30, tant que vous n'utilisez pas ces informations pour estimer $\lambda.$

Par conséquent, laissez $X \sim \mathsf{Pois}(\lambda = 90),$ où le taux $\lambda = 90$= (30 min) (3 / min). Alors tu veux$P(X \ge 60) = 0.99967.$

Vous pouvez obtenir cette réponse exacte en utilisant R, où ppoisest un CDF de Poisson, comme indiqué ci-dessous. Certains calculateurs statistiques pourraient effectuer essentiellement le même calcul.

1 - ppois(59, 90)
[1] 0.9996747

Vous pouvez essayer une approximation normale de cette distribution de Poisson, $\mathsf{Norm}(\mu = 90, \sigma=\sqrt{90}),$ normaliser et utiliser des tableaux imprimés de CDF de la normale standard pour obtenir une approximation normale raisonnable (avec correction de continuité).

L'approximation normale de R, où pnormest un CDF normal, comme indiqué ci-dessous:

1 - pnorm(59.5, 90, sqrt(90))
[1] 0.9993477

En utilisant des tables normales, vous obtiendrez une version un peu moins précise de cette approximation, car une erreur d'arrondi est impliquée dans l'utilisation d'un tel tableau.

La figure ci-dessous compare $\mathsf{Pois}(\lambda=90),$ centres de cercles rouges, avec la fonction de densité de $\mathsf{Norm}(\mu=90, \sigma=\sqrt{90}).$

Code R pour la figure:

 curve(dnorm(x, 90, sqrt(90)), 0, 140, lwd=2, ylab="PDF", main="")
 abline(v=0, col="green2")
 abline(h=0, col="green2")
 k = 0:140; pdf=dpois(k, 90)
 points(k, pdf, col="red")
 abline(v = 59.5, col="blue", lwd=2, lty="dotted")