Question sur les asymptotes.

Question

Laisser $f(x) = 3\cdot\frac{x^4+x^3+x^2+1}{x^2+x-2}.$ Donner un polynôme $g(x)$ de sorte que $f(x) + g(x)$ a une asymptote horizontale de $0$ comme $x$ s'approche de l'infini positif.

J'ai essayé d'utiliser le fait que si le degré du dénominateur est plus grand que le degré du numérateur, l'asymptote horizontale est $y = 0$, mais je ne pouvais aller nulle part. Comment dois-je le résoudre?

Answer 1

Effectuez la division euclidienne du numérateur par le dénominateur: $$x^4+x^3+x^2+1=(x^2+3)(x^2+x-2) -3x+7. $$ Nous en déduisons $$f(x)=3(x^2+3)+3\frac{-3x+7}{x^2+x-2}.$$ La fraction a tendance à $0$ comme $x\to\infty$, donc nous pouvons prendre $\:g(x)=-3(x^2+3)$.

Answer 2

La meilleure réponse est qu'après avoir effectué une division polynomiale longue, vous obtenez $f(x)=3x^2+9+\frac{-9x+21}{x^2+x-2}$. Notez que le troisième terme satisfait votre exigence d'asymptote horizontale de$0$, et ainsi vous laissez $g(x)$ annuler la partie gauche, donc $g(x)=-3x^2-9$.

Graphique: https://www.desmos.com/calculator/6ynoxvdfpe