Question sur les intervalles imbriqués (Real Analysis)

Question

Mon travail:

(a) Nous pouvons voir que $[a_n, b_n] \subset [a_{n-1}, b_{n-1}] \subset .... \subset [a_o, b_o]$. Nous avons donc ici des intervalles imbriqués qui sont fermés et bornés. En utilisant le théorème des intervalles imbriqués, nous savons que$ \bigcap_{n=0}^{\infty} [a_n, b_n] = [a,b]$, où $a = \sup(a_n)$ et $b = \inf(b_n)$. Cependant, nous pouvons également voir que$\lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0 \implies b=a$. Par conséquent,$\bigcap_{n=0}^{\infty} [a_n, b_n]$ = {$a$} $\implies a_n \leq a \leq b_n, \forall n \in \mathbb{N}$, où a est notre $\xi$.

(b) Nous avons construit des intervalles imbriqués de telle manière que $[a_n, b_n] \bigcap S \neq \emptyset$, $\forall n \in \mathbb{N}$. Cela implique qu'il existe$s_o \in S$ tel que $ a_n \leq s_o \leq b_n, \forall n \in \mathbb{N}$ $\implies a_n \leq s_o \leq \sup(S) \leq b_n, \forall n \in \mathbb{N}$par l'axiome d'exhaustivité. Supposons maintenant que$s_o < \sup(S)$. Cela impliquerait qu'il existe$s_1 \in S$ tel que $s_o < s_1 < \sup(S)$ $\implies a_n \leq s_o < s_1 < \sup(S) \leq b_n, \forall n \in \mathbb{N}$ce qui est en contradiction avec la partie (a), puisque nous ne pouvons pas avoir plus d'un élément dans l'intersection. Par conséquent, nous avons$s_o = a = \xi = \sup(S)$.

Ceci est dû au fait $s_o = \sup(S)$ et nous avons $a_n \leq s_o \leq b_n, \forall n \in \mathbb{N}$ et aussi $a_n \leq a \leq b_n, \forall n \in \mathbb{N}$. En comparant ces deux inégalités, nous pouvons voir que$\sup(S) = s_o = a = \xi$.

Je pense que la plupart des preuves sont informelles, veuillez m'aider à faire une preuve formelle. Merci et corrigez les erreurs! :)

Answer 1

J'ai vérifié la partie (a) et elle est correcte et bien écrite à mon avis (à condition qu'il soit permis d'utiliser le théorème des intervalles imbriqués).

Dans la partie (b) cependant, il y a quelques défauts à mon avis.

Nous avons construit des intervalles imbriqués de telle manière que $[a_n, b_n] \bigcap S \neq \emptyset$, $\forall n \in \mathbb{N}$. Cela implique qu'il existe$s_o \in S$ tel que $ a_n \leq s_o \leq b_n, \forall n \in \mathbb{N}$

Je pense que ce n'est pas correct (et si c'était correct, cela devrait être mieux expliqué). Il n'y a aucune raison de croire que le$s_o\in S$ peut être choisi indépendamment de $n$. Par partie (a) on peut trouver$\xi$ avec $a_n\leq \xi \leq b_n$ pour tous $n$, mais ce n'est pas nécessairement $S$. En fait, il existe des cas concrets où$s_o\in S$ est faux: par exemple, $S=(0,1/3)$, $a_0=0,b_0=1$, alors on peut montrer que $s_o=\xi=1/3$, mais $s_o\not\in S$.

Je suggérerais de ne pas utiliser $s_o$, mais utilisez $\sup S$directement à la place. Ensuite, à partir de votre preuve, nous pouvons extraire deux inégalités utiles:$$ a_n\leq \sup(S) \qquad\text{and}\qquad \sup(S)\leq b_n, $$ qui valent tous les deux $n$. À mon avis, les deux inégalités nécessitent une explication de la raison pour laquelle elles sont vraies (pour$a_n$ c'est facile, et pour $b_n$ cela demande plus d'efforts).

Utilisation de ces deux inégalités et des convergences $a_n\to \xi, b_n\to \xi$ à partir de la partie (a), le résultat peut être conclu.