Question sur un article de théorie analytique des nombres
Ma question est juste un `` je ne comprends pas ce qui se passe dans X du papier Y '' donc je ne sais pas si je peux le poster; par contre c'est de la recherche. Je l'ai posté dans stackexchange mais il n'a reçu aucun réponses, cela signifie-t-il que je suis autorisé à le publier ici? Je ne suis jamais sûr.
Quoi qu'il en soit, ma question porte sur l'article de Christopher Hooley sur le troisième moment pour les nombres premiers dans les progressions arithmétiques (`` Sur le théorème de Barban-Davenport-Halberstam VIII ''):
https://pdfs.semanticscholar.org/7b26/78e18a0dcc91f9309cb1da3291b727e0018f.pdf?_ga=2.81285395.505833362.1603308252-1695925416.1561972416
Pour les variables $z,z_1,\Delta $ il définit deux grandeurs, $\mathcal J_1(z,\Delta )$ et $\mathcal J_2(z_1,\Delta )$, en termes de quantités $\Gamma _\Delta (\cdot )$. En ce qui concerne ma question, je ne pense pas que nous ayons besoin de savoir quoi que ce soit à ce sujet$\Gamma _\Delta (\cdot )$. Les quantités$\mathcal J_1(z,\Delta )$ et $\mathcal J_2(z_1,\Delta )$sont les suivants. De (64) nous avons \ [\ mathcal J_1 (z, \ Delta) = \ sum _ {l <z} \ frac {(zl) ^ 2} {l} \ Gamma _ \ Delta (l) \ sum _ { l_1 + l_2 = l} \ Gamma _ \ Delta (l_1) \ Gamma _ \ Delta (l_2) \] et de (68) nous avons \ [\ mathcal J_2 (z_1, \ Delta) = \ sum _ {l <z_1 } (z_1-l) ^ 2l \ Gamma _ \ Delta (l) \ sum _ {l_1 + l_2 = l} \ Gamma _ \ Delta (l_1) \ Gamma _ \ Delta (l_2). \] De (112) nous have \ [(1) \ hspace {10mm} \ mathcal J_2 (z_1, \ Delta) = \ text {terme principal} + \ mathcal O \ left (\ frac {\ Delta ^ \ epsilon z_1 ^ {7/2}} {z ^ {1/4}} \ right) + \ mathcal O ^ z \ left (\ Delta ^ \ epsilon z_1 ^ {7/2} e ^ {- \ sqrt {\ log (z_1 + 2)}} \ right) \] pour tout$z$ avec $z\geq z_1$, selon le haut de la page 38. Ici le symbole $\mathcal O^z(f)$ désigne une quantité qui est $\mathcal O(f)$ et indépendant de $z$, a également déclaré en haut de la page 38.
(Cette introduction d'une nouvelle variable est décrite par l'expression \ [\ mathcal J_2 (z_1, \ Delta) = \ sum _ {d <z \ atop {(d, 2 \ Delta) = 1}} \ frac {\ mu ^ 2 (d)} {\ theta _2 (d)} \ sum _ {l <z_1 \ atop {l \ equiv 0 \ text {mod} d}} (z_1-l) ^ 2l \ sum _ {l_1 + l_2 = l} \ Gamma _ \ Delta (l_1) \ Gamma _ \ Delta (l_2) \] qui est l'égalité immédiatement après (68), et par le bas de la page 37, qui dit que nous pouvons changer le $d$ plage de sommation de $d<z_1$ à $d<z$ pour toute $z\geq z_1$, puisque la condition $d<z_1$ est automatique à partir du $l\equiv 0\text { mod }d$ état dans le $l$ somme.)
D'après le lemme 3 (page 25) $\mathcal J_1(z,\Delta )$ et $\mathcal J_2(z_1,\Delta )$ sont liés par \ [(2) \ hspace {10mm} \ mathcal J_1 (z, \ Delta) = \ frac {\ mathcal J_2 (z, \ Delta)} {z ^ 2} -6z \ int _ {0} ^ z \ frac {\ mathcal J_2 (z_1, \ Delta) dz_1} {z_1 ^ 4} + 12z ^ 2 \ int _ {0} ^ z \ frac {\ mathcal J_2 (z_1, \ Delta) dz_1} {z_1 ^ 5 }. \] Au bas de la page 38 et dans la première moitié de la page 39, il dit insérer $(1)$ dans $(2)$ calculer $\mathcal J_1(z,\Delta )$ jusqu'à une erreur \ [\ mathcal O \ left (\ Delta ^ \ epsilon z ^ {3/2} e ^ {- A '\ sqrt {\ log (z + 2)}} \ right) + \ mathcal O \ gauche (\ Delta ^ \ epsilon z \ int _1 ^ z \ frac {e ^ {- A '\ sqrt {\ log (u + 2)}}} {u ^ {1/2}} du \ right) \] \ [12z ^ 2 \ int _1 ^ \ infty \ mathcal O ^ z \ left (\ frac {\ Delta ^ \ epsilon e ^ {- A '\ sqrt {\ log (u + 2)}}} {u ^ { 3/2}} \ right) du + \ mathcal O \ left (z ^ 2 \ Delta ^ \ epsilon \ int _z ^ \ infty \ frac {e ^ {- A '\ sqrt {\ log (u + 2)} }} {u ^ {3/2}} du \ right) + O \ left (z ^ {7/4} \ Delta ^ \ epsilon \ int _1 ^ \ infty \ frac {du} {u ^ {3/2 }} \ right). \] Il dit alors (dans le même passage d'équation) que l'erreur totale ci-dessus est \ [z ^ {3/2} \ Delta ^ \ epsilon e ^ {- A '\ sqrt {\ log (z +2)}} \] ce qui ne me semble pas juste au vu de la $12z^2$ terme.
Ma première question est simple - est-ce une erreur / une erreur?
Sinon, comment cela se passe-t-il? Si c'est une erreur, qu'aurait-il voulu dire? J'ai essayé de comprendre ce qu'il aurait pu signifier, mais pour autant que je puisse voir, même si$(1)$ lisez plus fortement \ [\ mathcal J_2 (z_1, \ Delta) = \ text {terme principal} + \ mathcal O \ left (1 \ right) \] et nous l'avons inséré dans $(2)$ nous n'avons pas pu éviter un terme d'erreur de la forme \ [12z ^ 2 \ int _ {0} ^ z \ frac {dz_1} {z_1 ^ 5} \] afin que nous ne puissions pas calculer $\mathcal J_1(z,\Delta )$ jusqu'à une erreur mieux que $z^2$.
Mais cela signifierait que tout le résultat est faux, car le terme principal est d'environ cette taille, donc mon interprétation / compréhension est clairement absurde. Ma deuxième question est donc: est-ce que quelqu'un peut m'éclaircir?
Réponses
Je copie l'équation pertinente. Vous verrez que l'auteur introduit également un terme$z^2 H_4^\ast(\Delta)$, avec $H_4^\ast(\Delta)=O(\Delta^\epsilon)$, donc cela prend en charge le terme que vous avez manqué.
Ici $O^z(f)$ désigne une quantité qui est $O(f)$ et indépendant de $z$.