Résolution d'une équation tenseur de base et conversion en notation d'index
Je regarde la conférence 8 de la série gravité et lumière de Schuller - qui présente le tenseur de courbure de Riemann. C'est un$(1,3)$ tenseur $\mathbf{R}$ défini comme $$\mathbf{R}(\omega, Z, X, Y):=\omega(\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z)$$ Nous voulons obtenir une expression pour $(\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ)$. On peut donc dire$$\omega(\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ)=\mathbf{R}(\omega, Z, X, Y)+\omega(\nabla_{[X,Y]}Z)$$ Puisque cela vaut pour arbitraire $\omega$, il me semble intuitif que$$\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ=\mathbf{R}(\_, Z, X, Y)+\nabla_{[X,Y]}Z$$ mais je ne peux pas comprendre la justification rigoureuse de l'implication ci-dessus.
Question 1. Quel résultat / concept avons-nous utilisé pour dériver la troisième équation de la deuxième?
Cela devient plus étrange lorsque le conférencier convertit ce qui précède en notation d'index. Dans un graphique$(U,x)$, $$(\nabla_a\nabla_bZ)^m-(\nabla_b\nabla_aZ)^m=R^m_{\ \ nab}Z^n+\nabla_{\big[\frac{\partial}{\partial x^a},\frac{\partial}{\partial x^b}\big]}Z$$
(l'indice du dernier terme se lit $\big[\frac{\partial}{\partial x^a},\frac{\partial}{\partial x^b}\big]$, au cas où c'est difficile à voir)
Question 2. Comment cette équation de notation d'index découle-t-elle de la troisième équation? Quelles directives / concepts généraux sont utilisés pour écrire une équation tensorielle dans la notation d'index correspondante?
Toutes mes excuses si c'est une question très naïve.
Réponses
La première question n'a rien à voir avec la géométrie, et tout à voir avec l'algèbre linéaire; en particulier l'interaction entre$V,V^*, V^{**}$ quand $V$ est un espace vectoriel de dimension finie (sur tout champ $\Bbb{F}$, n'a même pas besoin d'être $\Bbb{R}$). C'est donc la situation sur laquelle nous allons nous concentrer.
J'espère que vous savez que si $\dim V <\infty$, puis $\dim V = \dim V^* = \dim V^{**}$, donc les espaces sont tous isomorphes. Ce qui est vraiment sympa c'est que$V$ et $V^{**}$ sont canoniquement isomorphes: la carte $\iota:V \to V^{**}$ défini par réglage pour tous $v\in V, \omega \in V^*$, $[\iota(v)](\omega) := \omega(v)$est facilement considérée comme linéaire et injective (par exemple en utilisant une base); puis par théorème de nullité de rang il suit$\iota$ est en fait un isomorphisme linéaire.
Supposer $v\in V$, et $\rho:V^* \to \Bbb{F}$ est tel que pour tous $\omega \in V^*$, \begin{align} \rho(\omega) &= \omega(v) \in \Bbb{F} \end{align} Ensuite, si vous détendez la définition de $\iota$, on voit ça $\rho(\omega) = \omega(v) = [\iota(v)](\omega)$. Puisque c'est vrai pour tous$\omega$, nous avons ça $\rho = \iota(v)$, et c'est une égalité d'éléments dans $V^{**}$ (c'est-à-dire que c'est une égalité de $(1,0)$-tenseurs sur $V$). De manière équivalente, nous pouvons réécrire ceci comme$v =\iota^{-1}(\rho)$, et c'est maintenant une véritable égalité d'éléments dans $V$ (et en conférence $3$, Je crois qu'il passe du temps à essayer d'expliquer ça $V\cong V^{**}$ en essayant d'expliquer pourquoi chaque vecteur "est" ou plutôt "peut être considéré" comme un $(1,0)$ tenseur).
Ce qui se passe généralement est que dans le cas des dimensions finies, puisque l'isomorphisme $V\cong V^{**}$ en utilisant $\iota$ est naturel, nous traitons simplement les espaces comme étant égaux, $V=V^{**}$. Bien sûr, en théorie des ensembles, ce sont des espaces différents, mais chaque fois que nous avons de tels isomorphismes naturels, il devient (parfois) plutôt fastidieux de continuer à devoir distinguer les espaces. C'est un peu comme essayer de distinguer les espaces$\Bbb{R}\times \Bbb{R}\times \Bbb{R}$ contre $\Bbb{R}^2\times \Bbb{R}$ contre $\Bbb{R}\times \Bbb{R}^2$ contre $\Bbb{R}^3$. Définis théoriquement, ce sont des objets différents, mais dans la plupart des cas, nous appelons simplement tous ces objets$\Bbb{R}^3$, et plutôt que de dire "il y a une correspondance bijective entre les quatre espaces", nous disons simplement "les quatre espaces sont égaux".
Dans votre cas, le $\rho$ est juste le tenseur de courbure rempli $R(\cdot, Z,X,Y)$ (si vous le souhaitez, évaluez tout à un moment $p\in M$, alors l'espace vectoriel est $V=T_pM$), tandis que le $v$ est $\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_{[X,Y]}Z$. Encore une fois, si vous voulez être très précis sur les choses, alors pour chaque$p\in M$, laisser $\iota_p: T_pM \to (T_pM)^{**}$être l'isomorphisme canonique; puis\begin{align} \iota_p\bigg((\nabla_X\nabla_YZ)(p)-(\nabla_X\nabla_YZ)(p)-(\nabla_{[X,Y]}Z)(p)\bigg) &= R_p(\cdot, Z(p), X(p), Y(p)). \end{align} Mais, comme je l'ai dit, en particulier dans cette situation de dimension finie, il ne sert à rien (une fois que vous comprenez l'isomorphisme) d'essayer de le suivre (car avec un peu de pratique, il devrait être assez facile de savoir où il va exactement).
Une autre façon de décrire l'isomorphisme $\iota$est comme suit. Étant donné n'importe quel espace vectoriel$V$, on peut toujours définir la "carte d'évaluation" $\text{ev}:V \times V^* \to \Bbb{F}$ en définissant $\text{ev}(v,\omega):= \omega(v)$. Pourquoi s'appelle-t-elle la carte d'évaluation? Parce que son but est d'évaluer littéralement l'élément donné de$V^*$ sur l'élément donné de $V$pour produire un élément de champ. Ceci est facilement vérifié comme étant une carte bilinéaire.
Parfois, cela est souvent appelé le «couplage de dualité» et est indiqué à l'aide de crochets angulaires $\langle \cdot, \cdot \rangle$, mais il ne doit pas être confondu avec un produit interne, car un produit interne nécessite généralement un champ scalaire réel ou complexe et est une carte $V\times V \to \Bbb{R}$ ou dans $\Bbb{C}$.
Du fait d'être bilinéaire, il induit deux cartes linéaires. Le premier est la cartographie$V\to V^{**}$ donné par $v\mapsto \text{ev}(v,\cdot)$, et le second est le mappage $V^* \to V^*$ donné par $\omega \mapsto \text{ev}(\cdot, \omega)$. La première cartographie est précisément la carte$\iota$ que j'ai décrit ci-dessus, tandis que le deuxième mappage est simplement l'identité sur $V^*$ donc ce n'est pas intéressant.
Juste pour ramener à la maison le point de quoi $\iota$ fait, notez que nous pouvons toujours évaluer les covecteurs $\omega$ sur un vecteur $v$ pour obtenir un élément de champ $\omega(v)\in \Bbb{F}$. Quoi$\iota$ vous permet de faire est de vous associer à $v$, un élément $\iota(v)$, qui peut manger des covecteurs pour produire un élément de champ $\iota(v)[\omega]:= \omega(v) \in \Bbb{F}$. Maintenant, depuis$\iota:V\to V^{**}$ est un isomorphisme, ce que cela nous permet de faire est d'être un peu bâclé avec la notation et de ne pas écrire $\iota$ du tout dans nos formules, et dire qu '"un covecteur peut agir sur un vecteur pour donner un scalaire", et aussi que "un vecteur peut agir sur un covecteur pour donner un scalaire", et les deux donnent le même résultat: \begin{align} \omega(v) = v(\omega) \in \Bbb{F} \end{align}
Pour question $2$, vous branchez simplement un cas particulier de $X=\frac{\partial}{\partial x^a}, Y=\frac{\partial}{\partial x^b}$, et $\omega = dx^m$. Ensuite, à partir de la première équation, nous avons:\begin{align} R\left(dx^m, Z^n\frac{\partial}{\partial x^n}, \frac{\partial}{\partial x^a}, \frac{\partial}{\partial x^b}\right) &= dx^m\left( \nabla_a \nabla_b Z - \nabla_b \nabla_a Z - \nabla_{\left[\frac{\partial}{\partial x^a}, \frac{\partial}{\partial x^b}\right]}Z\right) \end{align} Maintenant, utilisez la multilinéarité des deux côtés et la définition des indices tensoriels: $T^{i_1,\dots, i_r}_{\qquad j_1, \dots, j_s} := T\left(dx^{i_1}, \dots, dx^{i_r}, \frac{\partial}{\partial x^{j_1}}, \dots, \frac{\partial}{\partial x^{j_s}}\right)$ (voir la conférence $3$) obtenir \begin{align} R^{m}_{\,\, nab}Z^n &= (\nabla_a\nabla_bZ)^m-(\nabla_b\nabla_aZ)^m - \left(\nabla_{\left[\frac{\partial}{\partial x^a}, \frac{\partial}{\partial x^b}\right]}Z\right)^m. \end{align}
En général, si vous souhaitez extraire l'équation sous forme d'index, il vous suffit de brancher les champs de vecteurs de base et les champs de covector appropriés.