Restriction de Weil et ouvertures distinguées
J'ai une paire de questions liées à Weil Restriction. Laisser$E/F$ être une extension de champ, et laissez $A$ haricot $E-$algèbre. Supposons que toutes les restrictions pertinentes des scalaires existent. Nous avons une carte des normes$n: A \rightarrow RA$. Je souhaite montrer que pour$f \in A$ nous avons $R(A_f) \simeq (RA)_{n(f)}$ (c'est le problème 11.4.7 (6) dans les groupes algébriques linéaires de Springer).
Utilisation de la fonctionnalité, compte tenu de la carte $A \rightarrow A_f$, nous avons une carte induite $RA \rightarrow R(A_f)$ et depuis $n(f) \in RA$ est mappé à quelque chose d'inversible dans $R(A_f)$, par propriétés universelles, le morphisme $RA \rightarrow R(A_f)$ facteurs à travers $(RA)_{n(f)} \rightarrow R(A_f)$. Cependant, je ne sais pas comment procéder ici.
Une perspective plus unifiée ici est probablement donnée par les foncteurs de points et la pensée relative. Alors ici, travailler sur un schéma de base$S' \rightarrow S$, pour un $S$-schème $Y$ Et un $S'$-schème $X$ nous avons
$Hom_{S'}(Y \times_S S', X)=Hom_S(Y, \Pi_{S'/S}X).$
De plus, dans ce cadre, nous savons que prendre des restrictions de scalaires commute avec un changement de base. Ma question est donc; quelle est la formulation schématique de la question ci-dessus? Laisser$X=Spec(A)$ haricot $S'$schème. Ensuite, j'ai l'impression que le diagramme de changement de base pour la localisation serait$Spec(A_f) \times_{S'} Spec(A)$.
Puis par un argument facile, nous avons
$\Pi_{S'/S}(Spec(A_f) \times_{S'} Spec(A)) \simeq \Pi(Spec(A_f)) \times_{\Pi(S')} \Pi(Spec(A))$.
Bien que cela semble proche, je ne peux pas vraiment comprendre si c'est l'analogue correct de la déclaration ci-dessus. De plus ici, il semble que je n'introduise même pas du tout la carte des normes, ou n'utilise aucune propriété universelle sur la localisation, donc je ne suis pas sûr de moi.
Veuillez me faire savoir si vous avez des commentaires ou si je dois clarifier quelque chose.
Réponses
$\newcommand{\Res}{\mathsf{Res}}$ $\newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}}$$\ newcommand {\ Hom} {\ mathrm {Hom}} $
J'aimerais vous présenter une façon de penser à ce sujet qui me paraît instructive. J'espère que vous ressentez la même chose même si, très probablement, cela ne relève pas de ce que Springer discute réellement.
Par souci de simplicité, supposons que $ E / F $ est Galois et désignons par $ \ Gamma $ le groupe $ \ mathrm {Gal} (E / F) $ et nous notons un élément général de $ \ Gamma $ par $ \ sigma $ ou $ \ tau $ .
Commençons par définir pour tout $ \ sigma $ dans $ \ Gamma $ l' algèbre $ E $
$$ A ^ \ sigma: = A \ otimes_ {E, \ sigma} E $$
où cette notation signifie que nous prenons le produit tensoriel de $ E $ -algebras où $ E \ à A $ est la carte de structure et $ E \ à E $ est la carte donnée par $ \ sigma $ . Nous considérons cela comme une algèbre $ E $ en définissant $ e (a \ otimes b): = a \ otimes (eb) $ .
Notons que nous avons une carte de $ F $ -algèbres
$$ \ sigma: A \ vers A ^ \ sigma: a \ mapsto a \ otimes 1 $$
Notez cependant que cette carte n'est pas $ E $ -linear. En réalité,
$$ \ sigma (ea) = (ea) \ otimes 1 = a \ otimes \ sigma (e) = \ sigma (e) (a \ otimes 1) $$
donc $ \ sigma: A \ to A ^ \ sigma $ est $ \ sigma $ -linear.
Nous considérons maintenant l' algèbre $ E $
$$ A ^ {\ otimes \ Gamma}: = \ bigotimes _ {\ sigma \ in \ Gamma_F} A ^ \ sigma $$
où le produit tensoriel sur le côté droit est un produit tensoriel de $ E $ -algèbres. Nous désignerons un tenseur simple général dans $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ par $ \ displaystyle \ bigotimes a_ \ sigma $ (ie la $ \ sigma ^ \ text {th} $ -coordonnée dans le tenseur simple est $ a_ \ sigma $ ). Notez que $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ porte une action $ \ Gamma $ naturelle en permutant les coordonnées ou, plus explicitement,
$$ \ tau \ left (\ bigotimes a_ \ sigma \ right) = \ bigotimes b_ \ sigma, \ qquad b _ {\ tau \ sigma} = a_ \ sigma $$
Notez que l'action de $ \ Gamma $ n'est pas $ E $ linéaire, mais est $ F $ -linéaire.
Considérons maintenant les $ F $ -algèbre $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} $ - les points fixes $ \ Gamma $ de $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ . Nous avons une inclusion évidente de $ F $ -algèbres
$$ \ iota: (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ hookrightarrow A ^ {\ otimes \ Gamma} $$
Il est moins évident que la carte induite des algèbres $ E $
$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ otimes_F E \ to A ^ {\ otimes \ Gamma}: x \ otimes e \ mapsto ex $$
est un isomorphisme des algèbres $ E $ . En fait, c'est en fait un isomorphisme de $ E $ -algèbres avec une action de $ \ Gamma $ où $ \ Gamma $ agit sur la source par son action sur $ E $ !
Pourquoi $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ ou $ (A ^ {\ otimes {\ Gamma}}) ^ {\ Gamma} $ est-il important ? Eh bien, notez que pour toute $ F $ -algebra $ R $ la carte évidente
$$ \ Hom_F \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ right) \ to \ Hom_E \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ droite) ^ {\ Gamma} $$
est une bijection où l'action $ \ Gamma $ sur
$$ \ Hom_E \ gauche ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ droite) $$
prend un homomorphisme $ \ alpha $ à $ \ sigma \ circ \ alpha \ circ \ sigma ^ {- 1} $ où $ \ sigma ^ {- 1} $ agit sur $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E $ par son action sur $ E $ et l'action de $ \ sigma $ est sur $ R \ otimes_F E $ agissant également par $ E $ .
Mais, nous avons déjà noté que nous avons un isomorphisme
$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ otimes_F E \ to A ^ {\ otimes \ Gamma}: x \ otimes e \ mapsto ex $$
de $ E $ -algèbres avec $ \ Gamma $ -action. Ainsi, nous voyons que
$$ \ Hom_E \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ right) ^ {\ Gamma} = \ Hom_E \ left (A ^ {\ otimes \ Gamma} , R \ otimes_F E \ right) ^ {\ Gamma} $$
mais qu'est-ce qu'une application $ \ Gamma $ -equivariante de $ E $ -algèbres $ A ^ {\ otimes \ Gamma} \ à R \ otimes_F E $ ? Eh bien, selon la définition du produit tensoriel sur $ E $ , c'est une collection de cartes de $ E $ -algèbres
$$ f_ \ sigma: A ^ \ sigma \ à R \ otimes_F E $$
où nous abrégons $ f _ {\ mathrm {id}} $ en $ f $ de sorte que pour toute collection $ a_ \ sigma \ in A ^ \ sigma $ vous ayez
$$ f_ \ sigma (a_ \ sigma) = \ sigma (f (a)) $$
En d'autres termes, vous voyez que ces données sont entièrement déterminées par $ f $ .
En d'autres termes, en résumant tout, il y a une série naturelle de bijections
$$\begin{align}\Hom_F\left((A^{\otimes\Gamma})^\Gamma,R\right) &= \Hom_E\left((A^{\otimes\Gamma})^\Gamma\otimes_F E,R\otimes_F E\right)^\Gamma\\ &= \Hom_E(A^{\otimes\Gamma},R\otimes_F E)^\Gamma\\ &= \Hom_E(A,R\otimes_F E)\end{align}$$
ou, en d'autres termes, nous avons montré que
$$ \ Res_ {E / F} \ Spec (A) = \ Spec \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ right) $$
Plus explicitement, nous avons une bijection
$$ J: \ Hom_F \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ right) \ xrightarrow {\ approx} \ Hom_E (A, R \ otimes_F E) $$
donné en prenant $ f $ à $ (f \ otimes 1) \ mid_A $ .
Maintenant, qu'est-ce que cela a à voir avec la carte de norme? Notez que nous avons une carte multiplicative
$$ N: A \ vers A ^ {\ otimes \ Gamma}: a \ mapsto \ bigotimes \ sigma (a) $$
que nous appelons la carte des normes . Notez que cette carte n'est pas additive mais a une image dans $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $ .
Ainsi, si $ a \ in A $ alors $ N (a) \ in (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $ . Compte tenu de notre discussion ci-dessus, il est maintenant facile de vérifier que
$$ \ Res_ {E / F} (D (a)) = D (N (a)) $$
En effet, qu'est-ce qu'une carte de $ F $ -schemes
$$ \ Spec (R) \ à D (N (a)) $$
mais une carte d' algèbres $ F $
$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ à R $$
tel que $ N (a) $ mappe sur une unité. Qu'est-ce qu'une carte de $ E $ -schemes
$$ \ Spec (R \ otimes_F E) \ à \ Spec (A) $$
mais une carte de $ E $ -algèbres
$$ A \ à R \ otimes_F E $$
Notez alors que sous notre bijection ci-dessus
$$ \ Hom_F \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ right) \ xrightarrow {\ approx} \ Hom_E (A, R \ otimes_F E) $$
on voit ça
$$ f (N (a)) = J (f) (a) $$
et donc $ f (N (a)) $ est une unité ssi $ J (f) (a) $ l' est. C'est précisément ce que nous voulons.
Permettez-moi de dire un dernier mot sur la relation entre la carte des normes
$$ N: A \ à (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $$
et des versions plus familières de la carte des normes. A savoir, supposons qu'il existe une algèbre $ F $ $ B $ telle que $ A = B \ otimes_F E $ . Ensuite, on note que l'on a un isomorphisme de $ E $ -algèbres
$$ A ^ \ sigma = B \ otimes_F E \ otimes_ {E, \ sigma} E \ to A = B \ otimes_F E: (b \ otimes e_1) \ otimes e_2 \ mapsto b \ sigma (e_1) e_2 $$
Avec cela, on peut montrer qu'il existe un isomorphisme des algèbres $ E $
$$ A ^ {\ otimes \ Gamma} \ cong B \ otimes_E E ^ {\ otimes \ Gamma} \ cong A \ otimes_E (E ^ {| \ Gamma |}) \ cong B ^ {| \ Gamma |} $$
De plus, il n'est pas difficile de vérifier alors que la carte naturelle
$$ B \ à (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $$
est un isomorphisme. Ainsi, nous voyons que la carte de norme est une carte
$$ N: B \ otimes_F E = A \ à (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma = B $$
Maintenant, agissons $ x \ in B \ otimes_F E $ à gauche de $ B \ otimes_F E $ par multiplication à gauche, notons cela par $ \ ell_x $ . Puisque $ B \ otimes_F E $ est un module $ B $ libre de rang fini, on peut considérer $ \ det (\ ell_x) \ dans B $ . Alors, on a, sous les identifications ci-dessus, que $ N (x) = \ det (\ ell_x) $ .