Sélection continue paramétrant des mesures discrètes

Question

Laisser $\mathcal{P}_n(\mathbb{R})$ désignent l'ensemble des mesures de probabilité sur $\mathbb{R}$ pour le formulaire $\sum_{i=1}^n k_i \delta_{x_i}$. Puis n'importe quelle mesure dans$\mathcal{P}_n(\mathbb{R})$ est à l'image de la carte sur $\Delta_n \times \mathbb{R}^n$, où $\Delta_n$ est le $n$-simplex, prise $(k_1,\dots,k_n)\times (x_1,\dots,x_n)$ à $\sum_{i=1}^n k_j \delta_{x_i}$. Il est clair que cette carte est continue, lorsque$\mathcal{P}_n(\mathbb{R})$ est équipé de la métrique Prokhorov.

Cependant, est-il clair qu'il admet une sélection continue? C'est-à-dire: un inverse droit continu (certainement pas unique bien sûr)?

Answer 1

$\newcommand\de\delta\newcommand\De\Delta$La réponse est non. Supposons par simplicité que$n=2$ (l'affaire $n>2$est traité de la même manière). Supposer que$g$est un inverse droit en question. ensuite$g(\de_0)=((p,q),(0,0))$ pour certains $(p,q)\in\De_2$. Prenez maintenant tout$(s,t)\in\De_2\setminus\{(p,q),(q,p)\}$. Puis pour chaque naturel$k$ nous avons $g(s\de_{1/k}+t\de_{2/k})=((s,t),(1/k,2/k))$ ou $g(s\de_{1/k}+t\de_{2/k})=((t,s),(2/k,1/k))$, de sorte que $g(s\de_{1/k}+t\de_{2/k})\not\to((p,q),(0,0))=g(\de_0)$ (comme $k\to\infty$), tandis que $s\de_{1/k}+t\de_{2/k}\to\de_0$. Donc, pas d'inverse droit$g$ peut être continue.