Séquence d'Auslander-Reiten et couvertures projectives

Question

Laisser $R$ être une algèbre d'Artin et laisser $0 \to A \to B \to C \to 0$ être une séquence Auslander-Reiten de gauche de génération finie $R$-modules. Est-il toujours vrai que la couverture projective de$B$ est égal à la somme directe de la couverture projective de $A$ et la couverture projective de $C$? Merci beaucoup.

Edit: Je voudrais également savoir ce qui suit.

Laisser $A \to B \to C$ ($B$peut être une somme directe de modules indécomposables) être un maillage dans un carquois Auslander-Reiten. Est-il vrai que la couverture projective de$B$ est isomorphe à la somme directe de la couverture projective de $A$ et la couverture projective de $C$?

Merci beaucoup.

Answer 1

Non, prends $R=K[x]/(x^2)$ et $C=A=S$ le simple $R$-module. ensuite$0 \rightarrow S \rightarrow R \rightarrow S \rightarrow 0$ est la séquence Auslander-Reiten de $S$ et la couverture projective de $R$ et $S$ est $R$.