Séquences, analyse mathématique, etc…

Question

Laisser $ a_1, \ldots, a_p $être des nombres réels positifs fixes. Considérons les séquences,$$s_n=\dfrac{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_p^n}{p}\ \text{and}\ x_n=\sqrt[n]{s_n},\quad n\in\mathbb N $$ Montrez que la séquence $ \{x_n \} $ est en augmentation monotone.

J'ai essayé de faire une démonstration en utilisant ce qui suit mais je n'ai abouti à rien, $$\left (\sum_{k=1}^n a_k^p \right )^2\leq \sum_{k=1}^n a_k^{p+q}\sum_{k=1}^n a_k^{p-q},\ \forall p,q\in\mathbb R, a_1,\ldots,a_n\in\mathbb R^+ $$

Answer 1

Laisser $n <m$. ensuite$ \sum\limits_{i=1}^{p} |a_i|^{n} \leq (\sum\limits_{i=1}^{p} |a_i|^{m})^{n/m} (\sum\limits_{i=1}^{p} 1)^{1-\frac n m}$ par l'inégalité du titulaire avec les exposants $p=\frac m n$ et $q=\frac m {m-n}$. Élevez simplement les deux côtés au pouvoir$1/n$ pour finir.