Si E est mesurable, les mesures intérieure et extérieure pourraient différer?

Question

Je suis resté coincé dans cette question et je ne trouve pas de contre-exemple. J'ai prouvé que c'était vrai:

Si ${|E|_e}<\infty\Rightarrow$ E est mesurable $\Leftrightarrow{|E|_i}={|E|_e}$. Où${|E|_i}$ et ${|E|_e}$stand risp. pour mesure intérieure et extérieure. Eh bien, je ne peux pas trouver de contre-exemple dans le cas où E a une mesure extérieure infinie. Mon livre dit que ce n'est pas vrai mais rien ne me vient à l'esprit. Tout ce à quoi je pense a un sous-ensemble fermé avec une mesure infinie, de sorte que l'équivalence est toujours valable. Pour en trouver un, je devrais trouver un ensemble dont les sous-ensembles fermés ont tous une mesure finie ou telle qu'ils ne sont pas mesurables, non? Des idées ou des suggestions?

Ps pour ceux qui ne savent pas, la mesure intérieure de E est définie par ${|E|_i}$= sup | F | où F$\subset$E est fermé.

Answer 1

Voici un contre-exemple simple: un ensemble non mesurable $E$ tel que $|E|_i=|E|_e=+\infty$

Laisser $A$ être un sous-ensemble non mesurable de $[0,1]$. Prendre$E=(-\infty,-1] \cup A$. Clairement$E$est non mesurable. Nous avons aussi ça$$ |E|_i \geqslant |(-\infty,-1] |_i =+\infty$$ et $$ |E|_e \geqslant |(-\infty,-1] |_e =+\infty$$ Nous avons donc $|E|_i=|E|_e=+\infty$.