Si une séquence de variables de Bernoulli converge dans la distribution

Question

Laissez la séquence de variables aléatoires $X_{n}(s)$ se composent de variables aléatoires de Bernoulli équiprobables indépendantes, qui, $P[X_n{(}s) = 0] = 0.5 = P[X_n{(}s) = 1]$

De mon point de vue, cette séquence ne converge pas presque partout et ne converge pas non plus avec la probabilité. Mais je ne sais pas si elle converge dans la distribution.

Answer 1

Il converge en distribution mais pas en probabilité ou presque sûrement. Toute séquence$(X_n)$qui est distribué de manière identique (pas nécessairement indépendante) converge dans la distribution. En réalité$$P(|X_n-X_m|>\epsilon)$$ $$ =P(X_n=1,X_m=0)+P(X_n=0,X_m=1)=\frac 1 2$$ pour toute $\epsilon \in (0,1)$ donc $(X_n)$ ne peut pas converger en probabilité.

Answer 2

Il converge en distribution vers une variable aléatoire avec distribution de bernoulli avec probabilité $1/2$. En fait, il converge également en probabilité vers cette variable aléatoire. Rappelons qu'un RV peut converger en probabilité vers un RV et non vers une seule valeur.