Solution analytique à une équation différentielle spécifique

Question

Je me demandais s'il existe une solution analytique à l'ODE \ begin {équation} -n \ int xy (x) dx + ihy '(x) + (x ^ 2 + k) y (x) = 0, \ end { équation} où$n=0,1,2,...$, $h \in \mathbb{R}$, et $k=+1,0$ ou $-1$.

Pour $n=0$cela peut être résolu exactement, et la solution est \ begin {équation} y (x) = C \ exp \ left [ih \ left (\ frac {x ^ 3} {3} + kx \ right) \ right] \ equiv f (x). \ end {équation}

Cependant, j'ai eu du mal à trouver une solution générale pour différents $n$. Différencier l'ODE donne \ begin {équation} ihy '' (x) + (x ^ 2 + k) y '(x) + (2-n) xy (x) = 0. \ end {équation} J'ai essayé l'ansatz \ begin {équation} y (x) = f (x) ^ {(n-2) / 2} + f (x) ^ {(n-2) / 2} \ int f (x) ^ {1-n} dx, \ end {équation} mais il ne satisfait l'équation que lorsque$n=2$.

J'ai pu faire des progrès en séparant l'équation en ses parties réelles et imaginaires et en intégrant numériquement les équations couplées, mais j'espérais une solution analytique.

L'autre solution possible est la fonction de Heun triconfluent \ begin {equation} y (x) = e ^ {- \ frac {x ^ {3} +3 kx} {3 h}} C_ {2} \ text {HeunT} \ gauche [0, \ frac {-4 + n} {h}, - \ frac {k} {h}, 0, - \ frac {1} {h}, x \ droite] + C_ {1} \ text { HeunT} \ left [0, \ frac {-2 + n} {h}, \ frac {k} {h}, 0, \ frac {1} {h}, x \ right]. \ end {équation}

Ma question est de savoir s'il existe une solution analytique d'une forme plus simple?

Answer 1

Pour $k=0$ la solution est une fonction hypergéométrique, $$y(x)=C_1 \, _1F_1\left(\frac{2}{3}-\frac{n}{3};\frac{2}{3};\frac{i x^3}{3 h}\right)-(3h)^{-1/3}(-1)^{5/6} C_2 x \, _1F_1\left(1-\frac{n}{3};\frac{4}{3};\frac{i x^3}{3 h}\right),$$ qui au moins pour certaines valeurs de $n$ peut être réduite à une fonction de Bessel et / ou à une fonction gamma incomplète.

_{$$n=1:\qquad y(x)=\frac{\sqrt[6]{-\frac{1}{3}} \sqrt{x} e^{\frac{i x^3}{6 h}} \left(3 \sqrt[3]{2} C_1 \Gamma \left(\frac{5}{6}\right) J_{-\frac{1}{6}}\left(-\frac{x^3}{6 h}\right)-i C_2 \Gamma \left(\frac{1}{6}\right) J_{\frac{1}{6}}\left(-\frac{x^3}{6 h}\right)\right)}{3\ 2^{2/3} \sqrt[6]{h}},$$ $$n=2:\qquad y(x)=\frac{\sqrt[3]{-1} C_2 h^{2/3} \Gamma \left(\frac{4}{3}\right) \left(-\frac{i x^3}{h}\right)^{2/3}}{x^2}-\frac{\sqrt[3]{-1} C_2 h^{2/3} \left(-\frac{i x^3}{h}\right)^{2/3} \Gamma \left(\frac{1}{3},-\frac{i x^3}{3 h}\right)}{3 x^2}+C_1,$$ $$n=3:\qquad y(x)=\frac{C_1 \Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \sqrt[3]{-\frac{i x^3}{h}}}{\sqrt[3]{3}}+\frac{C_1 \sqrt[3]{-\frac{i x^3}{h}} \Gamma \left(-\frac{1}{3},-\frac{i x^3}{3 h}\right)}{3 \sqrt[3]{3}}-\frac{(-1)^{5/6} C_2 x}{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{h}}.$$}