Solution de base de programmation linéaire. Quelqu'un pourrait-il aider?

Question

Je travaille donc sur les épreuves et lis le livre "Programmation linéaire et non linéaire" de Luenberger et je voulais demander de l'aide. Si quelqu'un pouvait lire l'extrait suivant et m'expliquer le concept, je serais très reconnaissant.

Pour le problème standard:

$Ax = b$

$x \geq 0$

Pour une solution de base réalisable:

$x = (x_1, x_2,...,x_m, 0 ,0, 0)$ ou équivalent:

$x_1a_1 + x_2a_2 +···+ x_ma_m = b$ (1)

Supposons que nous décidions d'introduire dans la représentation $a_q$. Ensuite, nous pouvons représenter cela en termes de base actuelle:

$a_q = y_{1q}a_1 + y_{2q}a_2 +···+ y_{mq}a_m $ (2)

Si on multiplie (2) par $\epsilon \geq 0$ et soustraire (2) de (1) alors nous avons ce qui suit:

$(x_1 −\epsilon y_{1q})a_1 +(x2 −\epsilon y_{2q})a_2 +···+(xm −\epsilon y_{mq})a_m +a_q = b$

Maintenant si $\epsilon = 0$ alors nous avons la solution de base signifiant que $x_i, i=1,..,m \ge0$ et le reste $x_i = 0$.

Ma confusion vient du texte où il dit que pour $\epsilon \geq 0$alors la solution est faisable mais non basique. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer pourquoi? Est-ce parce que l'élément correspondant pour$a_q$ dans le vecteur solution $x$ est non nul?

La question vient d'une explication du livre "Programmation linéaire et non linéaire" de Luenberger. J'accède au pdf de l'université et je ne peux donc pas partager le lien, mais voici une capture d'écran du livre à la page 49:

Answer 1

Ce n'est pas basique parce que vous avez $m+1$ coefficients différents de zéro mais une base de taille $m$. Pour rendre le nouveau point basique, augmentez$\epsilon$ jusqu'au premier coefficient $x_i - \epsilon y_{iq}$ devient zéro, auquel cas vous récupérez $m$ coefficients différents de zéro.