Solution unique d'équation sur $Z$

Question

Je suis étudiant en informatique et dans l'un de nos cours (en ligne, compte tenu des circonstances), nous avons rencontré une équation qui n'a qu'une seule solution. Je n'arrive pas à le trouver analytiquement, je n'ai pu le résoudre qu'à l'aide d'outils numériques. Quelqu'un sait-il montrer qu'il n'y a pas d'autres solutions qui$m = 1$, $i = 1$ ?

$$ 2^m = 1 + 2^{1-i} $$ pour $i \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ et $m$ un entier st $m > -i$

Answer 1

Notez d'abord que $2^{1-i}>0$, alors $2^{m}>1$ et $m>0$. Donc,$m$ est un entier positif, et $2^{m}$est un entier positif pair. Cependant, cela signifie que$2^{1-i}$ doit également être un entier positif, et puisque $2^{m}$est pair, il doit être étrange. Cela n'arrive que lorsque$i=1$, et donc la seule solution est $\boxed{i = 1, m=1.}$

Answer 2

Guider:

Notez que $0 < 2^{1-i}\le 1$

• Si $m>1$, puis $2^m-1 \ge 3 > 1 \ge 2^{1-i}$.

• Je quitterai l'exercice pour examiner ce qui se passe quand $m<1$ comme exercice.