Somme d'une somme de deux variables

Question

Je suis un cours de chimie physique et certains de nos problèmes de pratique incluent des sommations, dont je n'avais jamais traité auparavant. J'ai la réponse, mais je ne comprends pas d'où elle vient - pourquoi n'y a-t-il pas de termes avec$ i $ ou $ j $la gauche? Je pensais que vous aviez pris la sommation intérieure, puis que vous aviez fait la sommation extérieure, mais je n'arrive pas à obtenir la bonne réponse car tout est en termes de deux variables.

Le problème: combien de termes y a-t-il dans la sommation suivante? Écrivez les termes.$$ S = \sum _ { i = 1 } ^ 3 \sum _ { j = 1 } ^ 2 x _ i y _ j $$

La solution: six termes:$$ x _ 1 y _ 1 + x _ 1 y _ 2 + x _ 2 y _ 1 + x _ 2 y _ 2 + x _ 3 y _ 1 + x _ 3 y _ 2 $$

Answer 1

On obtient

\begin{align*} \color{blue}{S}&\color{blue}{=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^2x_iy_j}\\ &=\sum_{i=1}^3x_i\sum_{j=1}^2y_j\tag{1}\\ &=\sum_{i=1}^3x_i\left(y_1+y_2\right)\tag{2}\\ &=x_1\left(y_1+y_2\right)+x_2\left(y_1+y_2\right)+x_3\left(y_1+y_2\right)\tag{3}\\ &\,\,\color{blue}{=x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_2+x_3y_1+x_3y_2} \end{align*} et la réclamation suit.

Commentaire:

• Dans (1) nous factorisons $x_i$ à partir de la somme intérieure, puisqu'ils ne dépendent pas de l'indice $j$.

• Dans (2), nous développons la somme intérieure.

• Dans (3), nous développons la somme externe.

• Dans (4), nous multiplions.

Answer 2

Vous calculez la somme interne pour chaque valeur de l'index $i$de la somme extérieure. Ainsi, vous définissez$i=1$ et calculer $\sum_{j=1}^2x_1y_j$, lequel est $x_1y_1+x_1y_2$. Puis tu incrémentes$i$ à $2$et calculez à nouveau la somme intérieure; maintenant c'est$\sum_{j=1}^2x_2y_j=x_2y_1+x_2y_2$. Enfin, vous incrémentez$i$ à $3$ et recommencez: $\sum_{j=1}^2x_3y_j=x_3y_1+x_3y_2$. La valeur de l'expression est la somme de ces trois sommes, ou

$$x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_2+x_3y_1+x_3y_2\,.$$

Vous pouvez le considérer comme un programme informatique, si vous êtes à l'aise avec de telles choses. Chaque sommation est en effet une for-nextboucle:

S=0;
for i=1 to 3 do;
   for j=1 to 2 do;
      S=S+x(i)y(j);
   next j;
next i;