Sortie d'un système LTI stable

Question

Laisser $\mathcal{L}$être un système LTI stable. Est-il vrai que si l'entrée a une énergie finie, alors la sortie a aussi une énergie finie? Je ne suis pas sûre de ça. Nous savons que$$\int_{-\infty}^{+\infty}|h(t)|dt\lt\infty \tag{1}$$Où $h(t)$est la réponse impulsionnelle. Nous avons aussi$$\int_{-\infty}^{+\infty}|y(t)|dt = \int_{-\infty}^{+\infty}|Y(s)|ds = \int_{-\infty}^{+\infty}|X(s)||H(s)|ds \tag{2}$$Depuis $y(t) = \mathcal{L}(x(t)) = x(t)\star h(t)$ ce qui implique $Y(s) = X(s)H(s)$. Application de l'inégalité de Cauchy – Schwarz à$(2)$, $$\left(\int_{-\infty}^{+\infty}|X(s)||H(s)|ds\right)^2 \le \left(\int_{-\infty}^{+\infty}|X(s)|^2ds\right)\left(\int_{-\infty}^{+\infty}|H(s)|^2ds\right) \tag{3}$$Nous savons que $$\int_{-\infty}^{+\infty}|X(s)|^2ds = \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt<\infty$$Puisque l'entrée est un signal d'énergie mais $$\int_{-\infty}^{+\infty}|H(s)|^2ds$$n'existe pas nécessairement. Alors, est-ce que cela indique que nous pouvons trouver un contre-exemple à l'énoncé ou que nous pouvons le prouver par d'autres méthodes?

Edit: Voici un contre-exemple qui montre$$\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|dt\lt \infty \nRightarrow \int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|^2dt\lt \infty$$

Answer 1

Je pense avoir trouvé la réponse. Corrigez-moi si j'ai tort, s'il-vous plait. Tout d'abord, j'ai fait une erreur stupide$$\int_{-\infty}^{+\infty}|y(t)|dt = \int_{-\infty}^{+\infty}|Y(s)|ds$$ce qui est clairement faux. Laisser$y(t) = x(t)\star h(t)$. Nous avons$$E_y = \int_{-\infty}^{+\infty}|y(t)|^2dt = \int_{-\infty}^{+\infty}|Y(s)|^2ds = \int_{-\infty}^{+\infty}|H(s)X(s)|^2ds = \int_{-\infty}^{+\infty}|H(s)|^2|X(s)|^2ds$$Nous avons aussi $$|H(s)| = \left|\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-2\pi ist}h(t)dt \right | \le \int_{-\infty}^{+\infty}|e^{-2\pi ist}h(t)|dt = \int_{-\infty}^{+\infty}|h(t)|dt \lt\infty$$Alors $\exists M\in\mathbb{R}:\ \ |H(s)|\le M$ pour tous $s$. Cela signifie que$|H(s)|^2\le M^2$ et alors $$\int_{-\infty}^{+\infty}|H(s)|^2|X(s)|^2ds\le M^2\int_{-\infty}^{+\infty}|X(s)|^2ds$$Par hypothèse $$E_x = \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt=\int_{-\infty}^{+\infty}|X(s)|^2ds$$Le résultat est $$E_y \le M^2 E_g$$

Answer 2

Aperçu approximatif de la preuve:

1. Un système (à valeur réelle) qui est IIR a une réponse impulsionnelle $h(t) \ne 0$ pour infiniment longtemps
2. Depuis $\lvert h(t)\rvert \ge h(t) > 0$ pour l'infini, il s'ensuit que cette réponse impulsionnelle n'a pas d'énergie finie
3. il existe des systèmes LTI IIR stables