Sous-groupe de GL (2, $\mathbb C$)

Question

J'ai besoin d'un exemple de groupe fini qui n'est pas isomorphe à un sous-groupe de GL (2,$\mathbb C$).

Je sais que chaque groupe cyclique est un sous-groupe mais un exemple concret d'un groupe fini qui n'est pas un sous-groupe de GL (2,$\mathbb C$) échappe à mes calculs. Veuillez donner un exemple s'il y en a un. Merci.

Answer 1

$C_2\times C_2\times C_2$est le plus petit de ces groupes. Pour voir cela, notez que les sous-groupes abéliens de$\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$sont diagonalisables. Ainsi si$G$ est un sous-groupe abélien de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ puis $G$ est généré par au plus $n$ éléments.

Answer 2

Prenez un groupe sans caractère non trivial de diplôme $\le2$, par exemple $A_5$.