Structure unique presque complexe jusqu'au difféomorphisme

Question

Pour quelles variétés lisses fermées l'action du groupe de difféomorphisme sur l'ensemble des structures presque complexes a-t-elle exactement une orbite?

Par exemple, c'est vrai pour $S^2$.

Answer 1

Vous avez eu la chance de trouver le seul exemple possible. Si vous prenez n'importe quelle variété de dimension$\ge 4$vous pouvez choisir une structure presque complexe qui est intégrable dans une boule fermée et la rendre non intégrable en dehors d'elle. Depuis complexe$n$-les boules ont plus d'une structure holomorphe, c'est fini. Et toutes les surfaces sauf$S^2$ ont des modules de structures complexes.

Answer 2

La réponse de Dmitri est bonne, mais il y a un argument différent qui est purement local qu'il vaut la peine de garder à l'esprit:

Sur un $2n$-collecteur $M$, l'ensemble des structures presque complexes sur $M$ sont les sections d'un paquet lisse $\mathscr{J}(M)\to M$ dont les fibres sont difféomorphes à $\mathrm{GL}(2n,\mathbb{R})/\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$, un espace de dimension réelle $4n^2 - 2n^2 = 2n^2$.

Ainsi, des structures presque complexes en dimension $2n$ dépendre localement de $2n^2$ fonctions de $2n$ variables, tandis que les difféomorphismes de $M$ dépendre localement de $2n$ fonctions de $2n$variables. Depuis$2n^2>2n$ quand $n>1$, il s'ensuit que, quand $n>1$, les structures presque complexes ont des invariants locaux, c'est-à-dire que le groupe de difféomorphisme ne peut pas agir transitivement sur l'espace de $k$-jets de structures presque complexes pour $k$suffisamment grand. Par conséquent, toutes les structures presque complexes ne peuvent être équivalentes sous difféomorphisme lorsque$n>1$, même localement.