Système de numération hybride sur $[0,1]^2$

Question

Laisser$X_0,X_1\in [0,1]$et$b_1,b_2>0$être des entiers. Nous allons créer un système de numération pour les vecteurs$(X_0,X_1)$, la base étant le vecteur$(b_1,b_2)$, comme suit.

Définir récursivement$X_k=\{b_2 X_{k-1} + b_1 X_{k-2}\}$, pour$k>1$. Ici$\{\cdot\}$représente la fonction de partie fractionnaire et$X_k\in [0,1]$. Clairement,$$d_k=b_1 X_k + b_2 X_{k+1} - X_{k+2}$$est un entier entre$0$et$b_1+b_2-1$. La séquence$d_0, d_1, d_2,d_3,\cdots$représente, par définition, les chiffres de$(X_0,X_1)$à la base$(b_1,b_2)$. Si$b_1=0$alors les chiffres ne sont que les chiffres standard de$X_1$à la base$b_2$.

Des questions:

• Deux vecteurs différents peuvent-ils$(X_0,X_1)$et$(X_0',X_1')$avoir exactement les mêmes chiffres en base$(b_1,b_2)$, en supposant$b_1,b_2>0$?
• Pouvez-vous reconstruire$(X_0,X_1)$si vous ne connaissez que ses chiffres en base$(b_1,b_2)$?

Je suppose que la réponse à la première question est oui. Il suffit donc de donner un exemple. Cela conduirait à une réponse négative à ma deuxième question.

Cependant, si la réponse à la première question est négative, il y aurait les conséquences intéressantes suivantes. Laisser$b=b_1+b_2$. Pour chaque$(X_0,X_1)$correspond un numéro unique$f(X_0,X_1)\in[0,b]$défini par son expansion en base$b$comme suit:

$$f(X_0,X_1)=\sum_{k=0}^\infty \frac{d_k}{b^{k}}.$$

Les deux conséquences seraient :

• Puisque pour l'immense majorité des couples$(X_0,X_1)$la distribution des chiffres$d_k$n'est PAS uniforme sur le plateau$\{0,1,2,\cdots,b-1\}$(voir ci-dessous pourquoi), le nombre$f(X_0,X_1)$n'est pas normale. Puisque l'ensemble des nombres non normaux a une mesure de Lebesgue nulle, nous avons cartographié$[0,1]^2$sur un ensemble de mesure de Lebesgue zéro. La cartographie est bijective.
• Nous avons créé une commande sur$[0,1]^2$. Il est défini comme suit :$(X_0,X_1) < (X_0',X_1')$si et seulement si$f(X_0,X_1) < f(X_0',X_1')$.

Quelques résultats utiles

Afin de prouver ou de réfuter mes affirmations, je propose le résultat suivant. Bien qu'à ce stade, je crois fermement que la formule ci-dessous est correcte, je ne l'ai pas techniquement prouvée. Ceci est juste basé sur des techniques de reconnaissance de formes et des mathématiques expérimentales, mais je pense que la preuve devrait être facile.

$$X_k = \{A(k) X_1\} \mbox{ with } A(0) =\frac{X_0}{X_1}, A(1) =1, \mbox{ and } A(k)= b_2 A(k-1) + b_1 A(k-2).$$

Plus d'informations à ce sujet dans mon ancienne question MO, ici . De plus, comme indiqué précédemment, les chiffres de$(X_0, X_1)$ne sont presque sûrement PAS uniformément répartis sur$\{0,1,\cdots b-1\}$, contrairement aux chiffres classiques de (disons)$\log 2$à la base$b$. Juste pour vous donner un exemple (encore une fois basé sur des preuves empiriques solides mais pas une preuve), il s'agit de la distribution standard des chiffres en base$(b_1=3, b_2=3)$:

• chiffre$0$apparaît avec fréquence$1/18$
• chiffre$1$apparaît avec fréquence$3/18$
• chiffre$2$apparaît avec fréquence$5/18$
• chiffre$3$apparaît avec fréquence$5/18$
• chiffre$4$apparaît avec fréquence$3/18$
• chiffre$5$apparaît avec fréquence$1/18$

Ce sont essentiellement les fréquences que vous observeriez dans cette base si vous captiez$X_0,X_1$au hasard.

Answer 1

Voici une partie (réponse négative) à votre première question :

Proposition 1 : Deux vecteurs différents$(X_0,X_1)$et$(X_0',X_1')$ne peut pas avoir exactement les mêmes chiffres$d_0,d_1,\dots$à la base$(b_1,b_2)$, en supposant$b_1,b_2>0$et$b_1>b_2+1$.

Preuve : Supposons le contraire. Puis pour$k=0,1,\dots$on a$X_{k+2}=b_1 X_k+b_2 X_{k+1}-d_k$,$X'_{k+2}=b_1 X'_k+b_2 X'_{k+1}-d_k$, et donc$$Z_{k+2}=b_1 Z_k+b_2 Z_{k+1},$$où$Z_k:=X'_k-X_k$. Donc, pour de vrai$c_+,c_-$et tout$k=0,1,\dots$on a$$Z_k=c_+ u_+^k+c_- u_-^k,$$où$$u_+:=\frac{b_2+\sqrt{b_2^2+4b_1}}2,\quad u_-:=\frac{b_2-\sqrt{b_2^2+4b_1}}2$$sont les racines$u$de l'équation$u^2=b_1+b_2 u$; voir par exemple les équations aux différences linéaires avec des racines caractéristiques distinctes .

Noter que$u_+>b_2\ge1$et aussi$u_1>|u_2|$. Donc si$c_+\ne0$, alors$|Z_k|\to\infty$(comme$k\to\infty$), ce qui contredit les conditions$Z_k=X'_k-X_k$,$0\le X_k<1$,$0\le X'_k<1$. Alors,$c_+=0$.

Maintenant pour$b_2>0$, la condition$b_1>b_2+1$est équivalent à$|u_-|>1$, d'où$|Z_k|=|c_-|\,|u_-|^k\to\infty$si$c_-\ne0$, ce qui contredit à nouveau les conditions$Z_k=X'_k-X_k$,$0\le X_k<1$,$0\le X'_k<1$. Alors,$c_-=0$, pour que$Z_k=0$et$X'_k=X_k$pour tous$k$. En particulier,$(X_0,X_1)=(X_0',X_1')$.$\Box$