Temps de Big Crunch

Question

Pour un univers plat, ayant de la matière et une constante cosmologique, nous pouvons écrire l'équation de Friedmann de la manière suivante:

$$\frac{H^{2}}{H^{2}_{0}} = \frac{\Omega_{m,0}}{a^{3}} + (1 - \Omega_{m,0})$$

Je comprends que si le deuxième terme est négatif ($\Omega_{m,0}>1$) alors le destin final de l'univers est qu'il va s'effondrer à nouveau dans le Big Crunch!

Je comprends que je peux calculer la valeur maximale du facteur d'échelle en faisant $H^{2}=0$ et que je peux réécrire l'équation ci-dessus comme un ODE juste avec de l'algèbre pour avoir l'expression suivante:

$$ H_{0}t = \int_{0}^{a} \frac{da}{(\Omega_{m,0}/a + (1 - \Omega_{m,0})a^{2})^{1/2}}$$

qui relie le temps cosmique au facteur d'échelle $a$. Ma question est alors la suivante: Comment puis-je calculer le temps de Big Crunch, (par exemple le temps que nous aurons à nouveau$a=0$?

Je pensais que c'était le double de l'intégrale ci-dessus, la limite supérieure étant le $a$ auquel nous avons $H(t) = 0$, mais cela n'a pas beaucoup de sens pour moi. De plus, l' Introduction à la cosmologie de Barbara Ryden dit que le temps que je recherche est (éq. 5.98):

$$ t_\text{crunch} = \frac{2\pi}{3H_{0}}\frac{1}{(\Omega_{m,0}-1)^{1/2}}$$

Ce que je pense que cela suggère que j'essaie la mauvaise approche. Est-ce que quelqu'un peut m'aider? Comment puis-je trouver l'équation ci-dessus?

Answer 1

Cette intégrale a une solution de forme fermée, $$H_0 t = \frac{2 \sinh^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-Ω_{m,0}}{Ω_{m,0}}}\,a^{3/2}\right)}{3 \sqrt{1-Ω_{m,0}}} = \frac{2 \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{Ω_{m,0}-1}{Ω_{m,0}}}\,a^{3/2}\right)}{3 \sqrt{Ω_{m,0}-1}}.$$

Pour un univers qui se souvient, cela ne vous donne que la moitié en expansion de l'évolution, qui se termine lorsque l'arc sinus atteint sa valeur maximale de $π/2$. L'âge total est donc$2 \frac{2 (π/2)}{3 \sqrt{Ω_{m,0}-1}}/H_0$.